Question

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充分性判断 1.a+b/c+d=√(a^2+b^2)/√(c^2+d^2)成立。 （1）a/b=c/d,且b、d均为正数 （2）a/b=c/d,且b、d均为负数 2.x=-1或x=8 (1)x=(a+b)(b+c)(c+a)/abc (2)(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a 3.解方程2log2x-3logx2-5=0 4.解方程log0.5xx^2-14log16xx^3+40log4x√x=0

Answer 1

1.a+b/c+d=√(a^2+b^2)/√(c^2+d^2)成立。
解：设a=mb,c=nd.代入上式，得
[(m+1)b]/[(n+1)d]=[b√(m^2+1)]/[d√(n^2+1)]
即
(m+1)/(n+1)=√(m^2+1)/√(n^2+1)
两边平方得,(m^2+2m+1)/(n^2+2n+1)=(m^2+1)/(n^2+1)
即
m/n=(m^2+1)/(n^2+1)
即
m^2*n+n-n^2*m-m=0
即
(m-n)*(mn-1)=0
即
m=n或mn=1
即
a/b=c/d或a/b=d/c
所以(1)和(2)是1.中所给式子的充分条件，但不是必要条件。
2.解：对（2）
(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a
上式，三个式子各加2，得
(a+b+c)/c=(a+b+c)/b=(a+b+c)/a
所以
a+b+c=0或者a=b=c
a+b+c=0代入(1),得x=-1.
a=b=c代入(1),得x=8
所以(1)且(2)等价于x=-1或x=8
(1)且(2)既是x=-1或x=8的充分条件，也是x=-1或x=8的必要条件
3.解：2log2x-3logx2-5=0
2lgx/lg2-3lg2/lgx-5=0
2(lgx)^2-5lg2*lgx-3(lg2)^2=0
(lgx-3lg2)*(2lgx+lg2)=0
lgx=3lg2或者lgx=(-lg2)/2
x=8或者x=1/√2
4.解：log0.5xx^2-14log16xx^3+40log4x√x=0
log2(x^2)/log2(0.5x)-14log2(x^3)/log2(16x)+40log2√x/log2(4x)=0
2log2x/log2(0.5x)-42log2x/log2(16x)+20log2x/log2(4x)=0
2log2x[1/log2(0.5x)-21/log2(16x)+10/log2(4x)]=0
令log2x=t，得
2t[1/(t-1)-21/(t+4)+10/(t+2)]=0
通分，并化简得
-10t(t-2)(2t+1)=0
所以
t=0或t=2或t=-1/2
log2x=0或log2x=2或log2x=-1/2
所以
x=1或x=4或x=√2/2