证明:一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组

1个回答

铁拳学姐

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要设a1,a2,...,as 是某向量组中的一个线性无关部分组

扩充步骤如下:

任取向量组中一个向量β

考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示

(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示

则放弃此向量

(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示

则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β

这个部分组为什么线性无关:

设 k1a1k2a2+...+ksas+kβ = 0

由于 β不能由a1,a2,...,as线性表示, 所以有 k =0

所以 k1a1k2a2+...+ksas = 0.

再由 a1,a2,...,as 线性无关, k1=k2=...=ks=0

故 a1,a2,...,as,β 线性无关.

如此进行下去, 遍历整个原向量组, 得一扩充的部分组:

a1,a2,...,ar 满足:

1) 线性无关

2) 原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示

故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.

咨询记录 · 回答于2021-09-30

证明:一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组

这个需要时间久一点

设a1,a2,...,as 是某向量组中的一个线性无关部分组扩充步骤如下:任取向量组中一个向量β考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示则放弃此向量(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β这个部分组为什么线性无关:设 k1a1k2a2+...+ksas+kβ = 0由于 β不能由a1,a2,...,as线性表示, 所以有 k =0所以 k1a1k2a2+...+ksas = 0.再由 a1,a2,...,as 线性无关, k1=k2=...=ks=0故 a1,a2,...,as,β 线性无关.如此进行下去, 遍历整个原向量组, 得一扩充的部分组:a1,a2,...,ar 满足:1) 线性无关2) 原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.

这个不是扩充的步骤吗？这样证明的话会不会缺乏严谨性

答案这里的这个法一的划线处是怎么推出来的

？？？

这个步骤这么清楚你看不懂？？？

替代了为什么就等价

能替代自然就是等价

那为什么I能由③线性表示，就可以推出能替代

你能仔细看完这个答案吗？

已赞过

评论收起