Question

【复变函数】验证u(x,y)=-e^xcosy是调和函数, 并求v(x,y), 使f (z)=u+iv在复平面上解析且有f(0)＝1

Answer 1

问：【复变函数】验证u(x,y)=-e^xcosy是调和函数, 并求v(x,y), 使f (z)=u+iv在复平面上解析且有f(0)＝1

答：【复变函数】验证u(x,y)=-e^xcosy是调和函数, 并求v(x,y), 使f (z)=u+iv在复平面上解析且有f(0)＝1您好亲，调和函数的定义为∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0.对u(x,y)=x^2+xy-y^2,∂u/∂x=2x+y,所以∂^2(u)/∂x^2=2；∂u/∂y=x-2y,所以∂^2(u)/∂y^2=-2.所以∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0,u为调和函数设f(z)=u+iv为解析函数,则由Cauchy-Riemann方程知∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y.所以v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C,C为任意常数.所以f(z)=u+iv=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC=(1-i/2)(x+iy)^2+iC=(1-i/2)z^2+iC,再将f(i)=-1+i代入可求得C=1/2,所以f(z)=(1-i/2)z^2+i/2、希望可以帮到您哦。