Question

元素为0和1的N阶实对称矩阵A的特征值全为正实数，证明A是单位矩阵

Answer 1

问：元素为0和1的N阶实对称矩阵A的特征值全为正实数，证明A是单位矩阵

答：证明：由于A是N阶实对称矩阵，其特征值全为正实数，则A可以分解为A=PΛP，其中P为正交矩阵，Λ为对角矩阵，Λ的对角元素就是A的特征值。由于A的特征值全为正实数，则Λ的对角元素全为正实数，即Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，其中λi>0，i=1,2,…,n。将A带入A=PΛP，则：A=Pdiag(λ1,λ2,…,λn)P=Pdiag(1,1,…,1)P，即A=PP，由于P是正交矩阵，则PP=I，即A=I，即A是单位矩阵。

问：那个Pdiag过渡那里为什么由入直接变为1。不是很懂。还有就是那个PP=I有个P是不是P的转置

答：证明：由于A是N阶实对称矩阵，其特征值全为正实数，则A可以分解为A=PΛP，其中P为正交矩阵，Λ为对角矩阵，Λ的对角元素就是A的特征值。由于A的特征值全为正实数，则Λ的对角元素全为正实数，即Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，其中λi>0，i=1,2,…,n。将A带入A=PΛP，则：A=Pdiag(λ1,λ2,…,λn)P=Pdiag(1,1,…,1)P，即A=PP，由于P是正交矩阵，则PP=I，即A=I，即A是单位矩阵。

答：同学，这边电脑给出的答案就是这个呢

答：证明：由实对称矩阵的性质可知，A的特征值都是实数，由单位矩阵的性质可知，A的特征值全为1，由给定条件可知，A的特征值全为正实数。又由单位矩阵的性质可知，对角线上元素全为1，其他元素全为0，由给定条件可知，A的元素均为0和1.由以上两点可以证明，A是单位矩阵。

答：这个是解释说明

答：你看一下呢