Question

已知总体 X的概率密度函数为 f(x,θ)= θx^(θ-1) ,0<x<1 0 ,其他 (θ为未知参数),(θ为未知参数),x1,···,xn为总体X的一个样本,求参数θ的极大似然估计量。

Answer 1

问：已知总体 X的概率密度函数为 f(x,θ)= θx^(θ-1) ,0

答：首先，写出样本X1, X2, ..., Xn的联合概率密度函数为：f(x1, x2, ..., xn; θ) = θ^n * (x1 * x2 * ... * xn)^(θ-1) * I{0

答：(1) 任意选择最后一位数字，不超过2次就选正确的概率：第一次选不对的概率是9/10，第二次选不对的概率也是9/10，所以不超过2次选正确的概率是：P = 1 - (9/10) * (9/10) = 0.19因此，任意选择最后一位数字，不超过2次就选正确的概率为0.19。(2) 如果该客户记得密码的最后一位是奇数，不超过2次选正确的概率：如果最后一位数字是奇数，那么有5种可能的选项：1、3、5、7、9。我们需要计算在不超过2次的情况下，选择正确的概率。第一次选不对的概率是4/5，第二次选不对的概率是9/10，所以在不超过2次的情况下，选择正确的概率是：P = 1 - [(4/5) * (9/10)] = 0.34因此，如果该客户记得密码的最后一位是奇数，不超过2次选正确的概率为0.34。

答：系数 a：为了使 f(x, y) 是概率密度函数，它必须满足积分为 1 的条件。因此，我们可以将 f(x, y) 积分在其定义域内，得到：∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫ax^2y dxdy = a∫∫x^2y dxdy其中，积分区域为 0 ≤ x ≤ 1，0 < y < 1。对于 y 的积分，我们可以先对 x 积分，得到：∫∫f(x,y)dxdy = a∫∫x^2y dxdy = a∫0^1 (y/3)dy = a/6根据积分为 1 的条件，我们有：∫∫f(x,y)dxdy = a/6 = 1因此，系数 a = 6。

答：(2)P{X≥Y} = ∫∫f(x,y)dxdy，积分区域为 y ≤ x。因此，我们可以先对 y 积分，再对 x 积分，得到：P{X≥Y} = ∫∫f(x,y)dxdy = ∫0^1 ∫y^1 6x^2y dxdy对 x 积分，得到：P{X≥Y} = ∫0^1 ∫y^1 6x^2y dxdy = 2/3因此，P{X≥Y} = 2/3。(3) E(XY)：根据定义，E(XY) 可以表示为以下积分形式：E(XY) = ∫∫xyf(x,y)dxdy因此，我们可以直接计算积分，得到：E(XY) = ∫∫xyf(x,y)dxdy = ∫0^1 ∫0^1 6x^3y^2 dxdy = 1/5因此，E(XY) = 1/5。

答：(1) 求(X,Y)关于X的边缘分布律边缘分布律指的是随机变量在其他变量未知的情况下的概率分布。因此，X的边缘分布律可以通过将Y的取值情况进行求和得到：P(X=-3) = 0 + 0.2 + 0 = 0.2P(X=0) = 0.2 + 0.2 = 0.4P(X=3) = 0 + 0.2 + 0 = 0.2因此，X的边缘分布律为：X -3 0 3P(X) 0.2 0.4 0.2(2) 计算D(X)首先需要计算X的期望值E(X)：E(X) = (-3) × 0 + 0 × 0.4 + 3 × 0.2 = 0.6然后可以利用以下公式计算X的方差D(X)：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中，E(X^2)表示X^2的期望值，可以通过对X^2在所有可能取值下的乘积与其概率进行求和得到：E(X^2) = (-3)^2 × 0 + 0^2 × 0.4 + 3^2 × 0.2 = 1.8因此，可以得到：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.8 - 0.6^2 = 1.44(3) 计算Cov(X,Y)协方差表示两个随机变量的变化趋势是否相同，可以用以下公式计算：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)首先需要计算XY的期望值E(XY)：E(XY) = (-3) × (-3) × 0 + (-3) × 0 × 0.2 + (-3) × 3 × 0 + 0 × (-3) × 0.2 + 0 × 0 × 0.2 + 0 × 3 × 0.2 + 3 × (-3) × 0 + 3 × 0 × 0.2 + 3 × 3 × 0 = 0然后需要计算X和Y的期望值：E(X) = 0.6 （已计算）E(Y) = (-3) × 0 + (-3) × 0.2 + (-3) × 0 + 0 × 0.2 + 0 × 0.2 + 3 × 0.2 + 3 × 0 + 3 × 0.2 + 3 × 0 = 0因此，可以得到：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 × 0 = 0

答：P(Y=-3)=0，P(Y=0)=0.4，P(Y=3)=0.6。可以看出，X和Y不是相互独立的，因为对于例子中的样本空间，有P(X=-3,Y=0)=0.2≠P(X=-3)P(Y=0)=0.08。但是，X和Y是不相关的，因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0=0。

答：根据中心极限定理，样本均值X̄的分布近似服从N(μ,δ^2/n)。由于样本大小为25，所以样本均值X̄的分布近似服从N(μ,δ^2/25)。根据题目给出的信息，X̄=1970，δ=100。则有：Z = (X̄ - μ) / (δ/√n) = (1970 - μ) / (100/√25) = 5(1970 - μ)/100在零假设μ=2020下，计算得到：Z = (1970 - 2020) / (100/√25) = -2.5根据正态分布表，P(Z ≤ -2.5) = 0.0062。由于显著性水平α=0.05，而P(Z ≤ -2.5) < α，因此拒绝零假设，认为该车间生产的零件的平均长度不是2020 mm。另外，P(0 < Z 1.25)可以从正态分布表中查到为0.3944，而p(|Z| > 1.25)可以转化为P(Z -1.25) + P(Z > 1.25)，查表得到P(Z -1.25) = 0.1056，P(Z > 1.25) = 0.1056，因此p(|Z| > 1.25) = 0.2112。

问：你第四题第一个问题做错了！！大哥

答：哪一个

答：P(X = -3) = 0 + 0.2 + 0 = 0.2P(X = 0) = 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.6P(X = 3) = 0 + 0.2 + 0 = 0.2因此，(X, Y)关于X的边缘分布律为：P(X = -3) = 0.2P(X = 0) = 0.6P(X = 3) = 0.2

答：是这样呀

答：根据边缘分布律的定义，我们可以通过计算边缘概率分布函数得到(X, Y)关于X的边缘分布律。对于任意的x，边缘概率分布函数F_X(x)可以表示为：F_X(x) = P(X <= x, Y) = P(X <= x) * P(Y)