Question

4.若 y1=e^3x 和 y2=xe^(3x) 是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方

Answer 1

问：4.若 y1=e^3x 和 y2=xe^(3x) 是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个解,则该方

答：亲爱的用户： 首先，我们找到了该方程的通解为 y = c1e^3x + c2xe^(3x)，其中 c1、c2 为任意常数。 为了解释这个结果，我们应用了线性微分方程的叠加原理。根据这个原理，任意线性组合 y = c1y1 + c2y2 也是该方程的解。因此，我们设通解为 y = c1e^3x + c2xe^(3x)，其中 c1、c2 为任意常数。 接下来，我们将这个通解代入原方程中。计算过程如下： y'' - 6y' + 9y = (c1e^3x + c2xe^(3x))'' - 6(c1e^3x + c2xe^(3x))' + 9(c1e^3x + c2xe^(3x)) = (9c1e^3x + 18c2xe^(3x) + c2e^(3x)) - 18(3c1e^3x + 3c2xe^(3x)) + 9c1e^3x + 9c2xe^(3x) = 0 由此可见，通解 y = c1e^3x + c2xe^(3x) 符合该方程的要求。

问：p和q的值是怎么得出为-6和9的

答：根据题目所给的线性微分方程形式：y''-6y'+9y=0 我们可以将其写成标准形式：y''-6y'+9y=p(x)y'+q(x)y，其中p(x)=-6，q(x)=9。这是因为当 y''-6y'+9y 展开后与 p(x)y'+q(x)y 进行对比，我们可以发现：p(x)=-6，q(x)=9。因此，p和q的值是根据题目所给的微分方程形式得出的。

问：题中给的形式怎么看出pq的值 我还是没看明白

答：根据题目所给的线性微分方程形式：y''-6y'+9y=0 我们可以将其写成标准形式：y''-6y'+9y=p(x)y'+q(x)y其中p(x)=-6，q(x)=9。这是因为当 y''-6y'+9y 展开后与 p(x)y'+q(x)y 进行对比，我们可以发现：p(x)=-6，q(x)=9。因此，p和q的值是根据题目所给的微分方程形式得出的。

答：题目中的微分方程为 $y'' - 6y' + 9y = 0$，其中 $a=1$，$b=-6$，$c=9$。 根据一元二次方程的求根公式，我们可以求得方程的特征根： $p = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 + 0}{2} = 3$ $q = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 - 0}{2} = 3$ 因此，特征方程的通解为 $y = c_1 e^{3x} + c_2 x e^{3x}$。