Question

微分方程+(1+y^2)xdx+(1+x^2)ydy=0+的通解为()+(1+x^2)(1+y^2)=C+(1+x^2)/(1+

Answer 1

问：微分方程+(1+y^2)xdx+(1+x^2)ydy=0+的通解为()+(1+x^2)(1+y^2)=C+(1+x^2)/(1+

答：根据所给微分方程进行求解：(1+y^2)xdx + (1+x^2)ydy = 0将方程改写为：(1+y^2)xdx = -(1+x^2)ydy两边同时除以 x(1+y^2) ，得到：dx/(x(1+y^2)) = -dy/(y(1+x^2))对两边同时积分，得到：∫dx/(x(1+y^2)) = -∫dy/(y(1+x^2))化简后得到：1/y * arcsin(y) = -1/x * arctan(x) + C其中，C为常数。将上式两边同乘 xy 并去掉分母，得到：xy * arcsin(y) = -x * (1+x^2)/2 * arctan(x) + Cxy化简后得到通解：xy * arcsin(y) + (1+x^2)(1+y^2) = C + x/(1+y^2)其中，C为常数。

答：题目已超咨询主题，可否进行复购呢？谢谢！

答：第一图：微分方程（1+y^2）xdx+（1+x^2）ydy=0可以通过分离变量的方法求解。具体过程如下：将方程移项，得到：(1+y^2)dx/xdx = -(1+x^2)dy/y 对上式两边同时积分，可得：∫(1+y^2)dx/x = -∫(1+x^2)dy/y + C其中C为常数。对第一个积分式进行化简，得到：∫(1+y^2)dx/x = ∫dx/x + ∫y^2dx/x = ln|x| + y^2/2 + C1对第二个积分式进行化简，得到：-∫(1+x^2)dy/y = -∫dy/y - ∫x^2dy/y = -ln|y| - x^2/2 + C2将化简后的两个积分式代入原微分方程中，得到通解：ln|x| + y^2/2 - ln|y| - x^2/2 = C化简可得：x^2 - y^2 = 2ln|xy| + C所以，微分方程（1+y^2）xdx+（1+x^2）ydy=0的通解为x^2 - y^2 = 2ln|xy| + C。

答：第二图对于不定积分∫sin xde^2x，我们可以使用分部积分法来求解。具体过程如下：令u=sin x，dv=de^2x，则du=cos x dx，v=e^2x，将其带入分部积分公式：∫uv' dx = uv - ∫u'v dx，得到：∫sin xde^2x = e^2x sin x - ∫e^2x cos x dx 对第二个积分符号进行化简，得到：∫e^2x cos x dx = (1/2)e^2x cos x + (1/2)∫e^2x sin x dx 对第二个积分符号再次进行化简，得到：(1/2)∫e^2x sin x dx = (1/2)e^2x sin x - (1/4)∫e^2x cos x dx 将上述两个式子带入原积分中，可得：∫sin xde^2x = e^2x sin x - (1/2)e^2x cos x - (1/4)∫e^2x cos x dx 将∫e^2x cos x dx带入上式，得到：∫sin xde^2x = e^2x sin x - (1/2)e^2x cos x - (1/8)e^2x cos x - (1/32)∫e^2x cos x dx 化简后得到：∫sin xde^2x = e^2x (2sin x - cos x)/8 + C，其中C为常数。 因此，不定积分∫sin xde^2x = e^2x (2sin x - cos x)/8 + C，答案为选项B。

答：第三图由分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，可以将不定积分∫1^n 2x dx表示为 ∫2x·dx = x·(2x/2) - ∫(2x/2)·dx = x^2 - x + C，其中C是常数。 将上式代入不定积分∫1^n 2x dx中，得到 ∫1^n 2x dx = [x^2 - x]_1^n + C = (n^2 - n) - (1^2 - 1) + C = n^2 - n + C + 1。 因此，不定积分∫1^n 2x dx等于n^2-n+C+1，其中C为常数。选择图中的选项B。

答：第三图对于不定积分∫1^n 2x dx，我们可以使用分部积分法来求解。具体过程如下：令u=x，dv=2dx，则du=dx，v=2x，将其带入分部积分公式：∫uv' dx = uv - ∫u'v dx，得到：∫2xdx = x(2x) - ∫2dx 对第二个积分符号进行化简，得到：∫2dx = 2x + C 将上述式子带入原积分中，可得：∫1^n 2xdx = n^2 - 1 + C，其中C为常数。 因此，不定积分∫1^n 2xdx = n^2 - 1 + C，

答：第四图根据题目，函数ln x是函数f(x)的一个原函数，则有f(x)=ln x + C其中C为任意常数。将f(x)=ln x + C带入∫f(x)dx中，得到：∫f(x)dx = ∫(ln x + C)dx= x ln x + Cx + C + K其中K为常数。因此，不定积分∫f(x)dx的结果为x ln x + Cx + C + K。将x=1代入x ln x + Cx + C + K中，得到结果为C+K，而只有选项D的结果为C+K，因此答案为选项D。

答：第五图我们可以使用分部积分法来求解不定积分∫arcsin xdx。令u = arcsin x，dv/dx = 1，则有du/dx = 1/√(1-x^2)，v = x。根据分部积分公式，有：∫arcsin x dx = x arcsin x - ∫x / √(1-x^2) dx接下来再使用一次代换法，令t = 1 - x^2，则有dt/dx = -2x，因此dx = -dt/(2√t)。将上式代入原式，得：∫arcsin x dx = x arcsin x +∫(1-t)/2 dt = x arcsin x - t/2 + C其中C为任意常数，将t = 1 - x^2代回得到：∫arcsin x dx = x arcsin x - (1-x^2)/2 + C因此，不定积分∫arcsin x dx的结果为x arcsin x - (1-x^2)/2 + C，将x = 0代入可得C为1/2，因此答案为选项B。