Question

已知曲线y+=+f+(x)在0,0处的切线与曲线y+=+xf+(x)在2,6处的切线重合,

Answer 1

问：已知曲线y+=+f+(x)在0,0处的切线与曲线y+=+xf+(x)在2,6处的切线重合,

答：由题意可得，在曲线y=f(x)在(0,0)处的切线上，该点处的导数为f'(0)，假设切线方程为y=f'(0)x。同理，在曲线y=xf(x)在(2,6)处的切线上，该点处的导数为f(2)+2f'(2)，假设切线方程为y=(f(2)+2f'(2))(x-2)+6。因为题目中已知这两条切线重合，所以它们应该具有相同的函数表达式，即：f'(0)x = (f(2)+2f'(2))(x-2)+6将其化简，得到：f'(0)x = f'(2)x - 2f'(2) + f(2) + 6移项整理，得到：(f'(0)-f'(2))x = f(2) + 6 + 2f'(2)因为这个等式对于任意x都成立，所以左边的系数必须为0，即：f'(0) - f'(2) = 0解出f'(2) = f'(0)。这说明在曲线y=f(x)上的点(0,0)和曲线y=xf(x)上的点(2,6)处，两条切线的斜率是相同的，即f'(0)=f'(2)。