Question

设A为n阶方阵,证明(A*)⁻¹=(A⁻¹)*

Answer 1

问：设A为n阶方阵,证明(A*)⁻¹=(A⁻¹)*

答：亲亲，您好很高兴为您解答，设A为n阶方阵,证明(A*)⁻¹=(A⁻¹)*证明：由于A是n阶方阵，则A有逆矩阵A⁻¹，则有：A*A⁻¹=I(A*)⁻¹(A*)=I即：(A*)⁻¹=(A⁻¹)*

答：假设A的逆矩阵存在，则有AA⁻¹=I，其中I为单位矩阵。将两边同时取共轭转置，得到(A*)⁻¹A*=I*，即(A*)⁻¹A=I。将上述式子两边同时乘以A⁻¹，得到(A*)⁻¹= A⁻¹(A*)⁻¹A⁻¹。再将上述式子两边同时取共轭转置，得到(A*)⁻¹=(A⁻¹)*A*(A*)⁻¹*。由于A*(A*)⁻¹*=AA⁻¹*=I，所以有(A*)⁻¹=(A⁻¹)*。证毕。