Question

(x²-3x+5)(x²-5x+5)+x²因式分解

Answer 1

问：(x²-3x+5)(x²-5x+5)+x²因式分解

答：亲，您好我们可以使用分组分解法来因式分解这个多项式。首先展开(x²-3x+5)(x²-5x+5)得到：x^4 - 8x^3 + 30x^2 - 55x + 25然后我们尝试将高次项 x^4 和常数项 25 分离出来：x^4 - 8x^3 + 30x^2 - 55x + 25 = (x^4 + 25) - 8x^3 + 30x^2 - 55x

答：接着，我们观察剩下的部分 -8x^3 + 30x^2 - 55x，发现它们有一个共同的因子 x，于是我们可以继续分解：x^4 - 8x^3 + 30x^2 - 55x + 25= (x^4 + 25) - 8x^3 + 30x^2 - 55x= (x^4 + 25) + (-8x^3 + 30x^2 - 55x)= (x^4 + 25) + x(-8x^2 + 30x - 55)最后注意到右边这个括号里面的表达式可以用配方法来进一步分解：-8x^2 + 30x - 55= -8(x^2 - (15/4)x + (55/8))= -8(x - 5/2)^2 + 105/2

答：因此原式可以写成：(x²-3x+5)(x²-5x+5)+x²= (x^4 + 25) + x(-8x^2 + 30x - 55)= (x^4 + 25) - 8(x - 5/2)^2 + 105/2 + x^2所以最终的因式分解为：(x^2 - 3x + 5)(x^2 - 5x + 5) + x^2 = (x^2 + 5)^2 - 8(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{105}{2}