Question

设随机变量Xn服从{0,1/n,…(n-1)/n}上的均匀分布,则Xn的分布函数为

Answer 1

问：设随机变量Xn服从{0,1/n,…(n-1)/n}上的均匀分布,则Xn的分布函数为

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦Xn的分布函数为：F(x) = 0, x < 0F(x) = k, (k-1)/n ≤ x < k/n, k = 1, 2, ..., n-1F(x) = 1, x ≥ 1

问：请问再如何证明当n→∞时，Xn依分布收敛于U（0，1）

答：要证明随机变量序列Xn依分布收敛于U(0,1)，需要证明其分布函数逐点收敛于U(0,1)的分布函数。即证明：lim{n→∞} F_n(x) = F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1其中F_n(x)是Xn的分布函数，F(x)是U(0,1)的分布函数。对于任意x ∈ [0,1]，存在自然数N > 0，使得1/N < x。由于Xn服从均匀分布，有：P(Xn ≤ x) = ⌊nx⌋/n其中⌊·⌋表示下取整函数。因为n → ∞ 时，可以将上式改写为：P(Xn ≤ x) = (⌊nx⌋ + 1 - ε_n)/n其中ε_n是小量，满足0 < ε_n 1。又因为：⌊nx⌋ + 1 - ε_n ≥ nx ≥ ⌊nx⌋所以有：(⌊nx⌋ + 1 - ε_n)/n ≥ x - 1/n因此：P(Xn ≤ x) ≥ x - 1/n类似地，可以得到：P(Xn > x) ≤ 1 - ⌊nx⌋/n ≤ 1 - nx + 1/n因此：P(Xn > x) ≤ 1 - nx + 1/n综合上述两个结论，有：|x - P(Xn ≤ x)| ≤ 1/n即：|F_n(x) - F(x)| = |P(Xn ≤ x) - x| ≤ 1/n因此，由夹逼准则可知：lim{n→∞} F_n(x) = F(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1这证明了Xn依分布收敛于U(0,1)。

问：谢谢你

问：可以再问问随机变量Xn服从｛0，1/n，…（n-1）/n｝上的均匀分布，Xn的期望和方差吗

答：随机变量Xn服从{0, 1/n, ..., (n-1)/n}上的均匀分布，其期望为E[Xn] = (n-1)/(2n)，方差为Var[Xn] = (n^2 - 1)/(12n^2)。