Question

求幂级数∑(n+1)/n！ x^n 的收敛半径 和收敛区间，以及函数

Answer 1

问：求幂级数∑(n+1)/n！ x^n 的收敛半径 和收敛区间，以及函数

答：亲，你好！为您找寻的答案：根据幂级数的定义，我们有：∑(n+1)/n！ x^n = 1 + x/1! + 2x^2/2! + 3x^3/3! + … + (n+1)x^n/n! + …将其化简为：∑(n+1)/n！ x^n = 1 + x + x^2/2 + x^3/2! + … + xn/n! + (xn+1)/(n+1)! + …根据比值判别法，我们可以求出该幂级数的收敛半径：lim |(n+2)x^(n+1)/(n+2)!| / |(n+1)x^n/(n+1)!| = lim |x| / (n+2) = 0由此可知，该级数的收敛半径为正无穷大，即该级数在整个实数域内收敛。接下来我们来求该级数的和函数。根据级数求和的公式，设该函数的和为f(x)，则有：f(x) = ∑(n+1)/n! x^n对其进行求导得：f'(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + … + xn/n! + (xn+1)/(n+1)! + …将其与f(x)相减，得：f'(x) - f(x) = 1将其带入微积分基本定理中，可得：f(x) = e^x + C将x=0代入上式，得：1 = e^0 + CC = 0因此，该级数的和函数为：f(x) = e^x综上所述，该幂级数的收敛半径为正无穷大，在整个实数域内收敛，其和函数为f(x) = e^x。