设函数（ x , y , u , v ), F ( x , y , u , v ), G ( x, y , u , v ）二阶可微，雅可比矩阵
( F . F , F . F .)
G . G , G . G .)
的秩为2．令
L ( x , y , u , v )= f ( x , y , u , v )+ A , F ( x , y , u , v )+A2G( x , y , u , v ),若 Po ( xo , yo , uo , vo ）是函数 L 的稳定点，证明：当d2L( Po )>(<)0时，P0是函数 f 在约束条件
F ( x , y , u ,0)=0, G ( x , y , u , v )=0
下的条件极小（大）值点
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首先，我们定义拉格朗日函数为：Lagrange函数：L(x, y, u, v, λ1, λ2) = f(x, y, u, v) + λ1F(x, y, u, v) + λ2G(x, y, u, v)其中，λ1和λ2是拉格朗日乘子。然后，我们计算Lagrange函数的一阶偏导数：∂L/∂x = ∂f/∂x + λ1∂F/∂x + λ2∂G/∂x∂L/∂y = ∂f/∂y + λ1∂F/∂y + λ2∂G/∂y∂L/∂u = ∂f/∂u + λ1∂F/∂u + λ2∂G/∂u∂L/∂v = ∂f/∂v + λ1∂F/∂v + λ2∂G/∂v∂L/∂λ1 = F(x, y, u, v)∂L/∂λ2 = G(x, y, u, v)令以上偏导数为零，得到一组方程：∂f/∂x + λ1∂F/∂x + λ2∂G/∂x = 0∂f/∂y + λ1∂F/∂y + λ2∂G/∂y = 0∂f/∂u + λ1∂F/∂u + λ2∂G/∂u = 0∂f/∂v + λ1∂F/∂v + λ2∂G/∂v = 0F(x, y, u, v) = 0G(x, y, u, v) = 0解这组方程，可以得到最优点P0的坐标值(x0, y0, u0, v0)以及对应的λ1和λ2的值。接下来，我们计算Lagrange函数的二阶偏导数，并代入P0的坐标值：d2L/dx2 = ∂2L/∂x2 + λ1∂2F/∂x2 + λ2∂2G/∂x2 + 2(∂2L/∂x∂λ1)F + 2(∂2L/∂x∂λ2)Gd2L/dy2 = ∂2L/∂y2 + λ1∂2F/∂y2 + λ2∂2G/∂y2 + 2(∂2L/∂y∂λ1)F + 2(∂2L/∂y∂λ2)Gd2L/du2 = ∂2L/∂u2 + λ1∂2F/∂u2 + λ2∂2G/∂u2 + 2(∂2L/∂u∂λ1)F + 2(∂2L/∂u∂λ2)Gd2L/dv2 = ∂2L/∂v2 + λ1∂2F/∂v2 + λ2∂2G/∂v2 + 2(∂2L/∂v∂λ1)F + 2(∂2L/∂v∂λ2)G我们需要证明的是，当d2L(Po)>(dx2 * d2L/dy2 - (d2L/dxdy)^2>(<)0时，P0是f的条件极小（大）值点。
咨询记录 · 回答于2023-05-24
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F ( x , y , u ,0)=0, G ( x , y , u , v )=0
L ( x , y , u , v )= f ( x , y , u , v )+ A , F ( x , y , u , v )+A2G( x , y , u , v ),若 Po ( xo , yo , uo , vo ）是函数 L 的稳定点，证明：当d2L( Po )>(<)0时，P0是函数 f 在约束条件
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F ( x , y , u ,0)=0, G ( x , y , u , v )=0
L ( x , y , u , v )= f ( x , y , u , v )+ A , F ( x , y , u , v )+A2G( x , y , u , v ),若 Po ( xo , yo , uo , vo ）是函数 L 的稳定点，证明：当d2L( Po )>(<)0时，P0是函数 f 在约束条件
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L ( x , y , u , v )= f ( x , y , u , v )+ A , F ( x , y , u , v )+A2G( x , y , u , v ),若 Po ( xo , yo , uo , vo ）是函数 L 的稳定点，证明：当d2L( Po )>(<)0时，P0是函数 f 在约束条件
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