Question

为什么所有偏导数等于0就可以求最值呢

Answer 1

问：为什么所有偏导数等于0就可以求最值呢

答：亲，很高兴为您解答！为什么所有偏导数等于0就可以求最值呢的详细解答：函数的最值必须满足必要条件:在最值点处,函数的增量必须为0,即一阶导数等于0。这是判断最值的第一个条件。 对于多变量函数f(x,y),要判断其最值点,需要考察函数对所有变量的变化率,即偏导数。在最值点(x0,y0),函数值对任意变量的小变化都保持不变,即:f_x(x0,y0) = 0, f_y(x0,y0) = 0；当函数的所有偏导数在某点都等于0时,此点满足最值点的必要条件。因为此点函数值对任意变量的增量都为0,符合最值点的定义。然而,偏导数都等于0仅是最值点的必要条件,还需进一步判断此点是最大值、最小值或鞍点。这需要考察函数的二阶导数或 Hessian 矩阵。如果二阶导数或Hessian矩阵在此点都为正定,则为最小值点;如果为负定,则为最大值点;如果不定,则可能为鞍点。综上,偏导数等于0可以判断出函数的临界点,但还需进一步判断二阶导数或Hessian矩阵以确定其为最大值、最小值或鞍点。偏导数为0是求最值的必要但不充分条件,需要配合其他判定手段才能得出准确结论。