Question

在三角形ABC中,内角ABC的对边分别是abc,若a分之cosA=b+c分之cosB+cosC。

Answer 1

问：在三角形ABC中,内角ABC的对边分别是abc,若a分之cosA=b+c分之cosB+cosC。

问：已知等比数列谢谢老师

答：不行的同学 只能回答一题

问：那就十七题

问：为什么只能一题

答：首先，根据余弦定理，有$$\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos B&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{aligned}$$代入给定的条件，得到$$\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B+\cos C}{b+c}$$移项并同时乘以$2bc(b+c)$，得到$$2b^2c\cos B+2bc^2\cos C=2a^2bc\cos A+abc^2+ab^2c$$将$\cos B$和$\cos C$用$a,b,c$表示，代入上式并化简，得到$$a^3+b^3+c^3-3abc=3a^2(b+c)\cos A$$再次代入余弦定理，得到$$a^3+b^3+c^3-3abc=3a^2b\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+3a^2c\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$也就是$$a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^2c^2-b^3+c^2a^2-c^3+a^2b^2$$化简后得到$$a^3+b^3+c^3-3abc=2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2$$根据海伦公式，有$$a=\frac{2K}{b+c},\ b=\frac{2K}{c+a},\ c=\frac{2K}{a+b}$$代入上式并化简，得到$$16K^4+(b^2-c^2)^2(a+b+c)^2=0$$由于$16K^4\geq0$，因此有$b^2=c^2$或$a+b+c=0$。如果$b=c$，则根据余弦定理和角平分线定理，得到$$\begin{aligned}\cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2b^2-a^2}{2b^2}\\\cos B&=\cos C=\frac{a}{2b}\end{aligned}$$代入所给条件，得到$$\frac{2b^2-a^2}{2ab}=\frac{a}{2b}+\frac{a}{2b}$$化简后得到$a^2=4b^2$，即$a=2b$。由此得到$\cos A=-\frac{1}{3}$，因此$A=109.47^\circ$

答：根据余弦定理可得：$$\begin{aligned}\cos A &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\\cos B &= \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\\cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{aligned}$$将其代入已知条件：$$\begin{aligned}\frac{\cos A}{a} &= \frac{\cos B + \cos C}{b+c} \\\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} &= \frac{c^2+a^2-b^2}{2abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} \\b^2+c^2-a^2 &= (b+c)(a^2-b^2+c^2) \\a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos A\end{aligned}$$接下来考虑点D。由题意知，$\angle BAD = \angle CAD$，而AB=AC，故三角形ABD与ACD全等，即BD=CD。又因为AB=AC，故AD垂直BC。设BD=CD=x，根据勾股定理可得：$$\begin{aligned}AD^2 &= AB^2-BD^2 \\3 &= (3\sqrt{2})^2-x^2 \\x &= \sqrt{6}\end{aligned}$$再根据余弦定理：$$\begin{aligned}a^2 &= b^2+c^2-2bc\cos A \\&= b^2+(b+x)^2-2b(b+x)\cos A \\&= 2b^2+2bx+x^2-2bx\cos A \\&= 2b^2+x^2-2bx\cos A\end{aligned}$$将已知数据代入，得：$$6 = 2b^2+6-4b\sqrt{2}\cos A$$化简可得：$$b^2-2\sqrt{2}b\cos A + 5=0$$又因为$b>c$，故$b=\sqrt{2}\cos A+\sqrt{3}$，$c=\sqrt{2}\cos A+1$。由此可得：$$\begin{aligned}a+b+c &= 2\sqrt{2}\cos A+3+\sqrt{2}\cos A+1+\sqrt{2}\cos A+1 \\&= 4\sqrt{2}\cos A