Question

线性代数正交化公式

Answer 1

在线性代数中，正交化是指将一组向量转化为一组相互垂直的向量。以下是一些常见的正交化公式。
1.Gram-Schmidt正交化过程：给定一组线性无关的向量{v₁,v₂,...,vₙ}，可以通过Gram-Schmidt正交化过程将其转化为一组相互正交的向量{u₁,u₂,...,uₙ}。
-初始化：令u₁=v₁。
-递推公式：对于k=2,3,...,n，计算
uₖ=vₖ-proj（u₁,vₖ）-proj（u₂,vₖ）-...-proj（uₖ₋₁,vₖ），
其中proj（u,v）表示向量v在向量u上的投影。
-归一化：将每个uₖ归一化得到单位向量。
最终得到的一组向量{u₁,u₂,...,uₙ}是相互垂直的。
2.施密特正交化过程：施密特正交化是另一种常见的向量正交化方法，它针对的是正交矩阵（方阵）的列向量。
-给定一组线性无关的列向量{v₁,v₂,...,vₙ}，初始化一个新的矩阵Q，令q₁=v₁/‖v₁‖，其中‖v₁‖表示向量v₁的范数（长度）。
-对于k=2,3,...,n，依次计算：
-求解rⱼₖ=qⱼ·vₖ（点积）。
-计算反射向量rₖ=vₖ-r₁ₖq₁-r₂ₖq₂-...-rⱼₖqⱼ。
-归一化得到单位向量qₖ=rₖ/‖rₖ‖。
最终得到的矩阵Q的列向量{q₁,q₂,...,qₙ}是相互垂直的，且单位长度为1。
这些是正交化的基本公式，可以根据具体情况和需要进行适当的变形和推广。