Question

两道高一数学题~~

1，已知二次函数y=ax^2+bx+c,一次函数y=k(x-1)-k^2/4.若他们的图像对于任何的实数k都只有一个公共点,则二次函数的解析式为

2，设二次函数f(x)满足：①对称轴为x=2
②方程f(x)=0的两个实根平方为10 ③图像过（0，3）.求f(x)的解析式

麻烦写清楚点 过程！！！！~~谢谢

Answer 1

1.
(1)根据题设，f(-x)=[-2^(-x)+b]/[2^(-x+1)
+2]=[-1+b*(2^x)]/[2+2^(x+1)]
-f(x)=(2^x-b)/[2^(x+1)+2]
因为此时函数为奇函数，f(-x)=-f(x)
则[-1+b*(2^x)]/[2+2^(x+1)]=(2^x-b)/[2^(x+1)+2]
所以b=1
(2)根据(1)的结论，原函数f(x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+2]
令T=2^x，则f(T)=(-T+1)/(2T+2)
求此函数的一阶导数，则
f'(T)=[-(2T+2)-2(-T+1)]/(2T+2)^2=-4/(2T+2)^2
该值恒小于零
故函数f(T)在定义域内单调递减。
又T=2^x在定义域内单调递增，
所以函数f(x)在定义域内单调递减。
(3)不好意思，这一小题不会。
2.
(1)将f(x)配方可得：f(x)=a(x-1/a)^2
+1-1/a
因为1/3<a<1，抛物线开口向上，当x=1/a时，f(x)取得最小值1-1/a
当x=1时，f(x)=a-1
当x=3时，f(x)=9a-5
计算不等式9a-5-(a-1)>0，得a>1/2
则当1/2<a<1时，f(x)的最大值为9a-5
当1/3<a<1/2时，f(x)的最大值为a-1
当a=1/2时，f(x)的最大值即为-0.5
9a-5-(1-1/a)=9a-6+1/a
a-1-(1-1/a)=a-2+1/a
故，g(a)的表达式为：
g(a)=9a-6+1/a，1/2<=a<1
g(a)=a-2+1/a，1/3<a<1/2
(2)用倒推法
第一种情况：g(a)=9a-6+1/a，1/2<=a<1
要证g(a)>=1/2
只要证9a-6+1/a>=1/2
只要证9a-6+1/a-1/2>=0
只要证9a+(1/a)-13/2>=0
因为此时1/2<=a<1，不等式两边同时乘以2a，整理后得：
只要证18a^2-13a+2>=0，求解此不等式
只要证a>=1/2或a<=2/9
而已知条件中，1/2<=a<1，满足上式
所以当1/2<=a<1时，g(a)>=1/2得证。
第二种情况：g(a)=a-2+1/a，1/3<a<1/2
要证a-2+1/a>=1/2
只要证a-2+1/a-1/2>=0
只要证a+1/a
-5/2>=0
因为1/3<a<1/2，不等式两边同时乘以2a，整理可得：
只要证2a^2-5a+2>=0，求解此不等式
只要证a>=2或a<=1/2
因为已知条件中1/3<a<1/2，满足上式
所以当1/3<a<1/2时，g(a)>=1/2
综上所述，g(a)>=1/2

Answer 2

1)
设P(2,3)关于直线x
y
1=0的对称点为(m,n)
(m
2)/2
(n
3)/3
1=0
(n-3)/(m-2)=1
解得
m=-4,n=-3
反射直线过(-4,-3),
(1,1),
斜率为(1
3)/(1
4)=4/5
∴反射光线为
y=(4/5)x
1/5
同理,(1,1)关于直线对称点为(-2,-2)
入射直线过(2,3),(-2,-2),
斜率为(3
2)/(2
2)=5/4
∴入射直线为
y=(5/4)x
1/2
2)
①f(a
b)=f(a)×f(b)
令a=b=0,
则f(0)=f(0)×f(0),
而f(x)非零即f(0)≠0,
∴f(0)=1
对任意x>0,有-x<0,
f(x-x)=f(x)×f(-x)=f(0)=1,
f(x)=1/f(-x),
由题意f(-x)>1,
∴0<f(x)<1
x>0时,0<f(x)<1;x=0时,f(x)=0;x<0时,f(x)>1
∴对任意x都有,
f(x)>0
②任意x1>x2,则x2-x1<0,f(x2-x1)>1
f(x2-x1)=f(x2)×f(x1)=f(x2)×1/f(x1)=f(x2)/f(x1)>1
∵f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)是减函数
③f(4)=f(2
2)=f(2)×f(2)=1/16,
∴f(2)=1/2
f(x-3)×f(5)=f(x-3
5)=f(x
2)
即原不等式转化为
f(x
2)<=f(2)
∵f(x)是减函数
∴x
2>=2
∴x>=0,即解集为[0,
∞)

Answer 3

1)
设P(2,3)关于直线x
y
1=0的对称点为(m,n)
(m
2)/2
(n
3)/3
1=0
(n-3)/(m-2)=1
解得
m=-4,n=-3
反射直线过(-4,-3),
(1,1),
斜率为(1
3)/(1
4)=4/5
∴反射光线为
y=(4/5)x
1/5
同理,(1,1)关于直线对称点为(-2,-2)
入射直线过(2,3),(-2,-2),
斜率为(3
2)/(2
2)=5/4
∴入射直线为
y=(5/4)x
1/2
2)
①f(a
b)=f(a)×f(b)
令a=b=0,
则f(0)=f(0)×f(0),
而f(x)非零即f(0)≠0,
∴f(0)=1
对任意x>0,有-x<0,
f(x-x)=f(x)×f(-x)=f(0)=1,
f(x)=1/f(-x),
由题意f(-x)>1,
∴0<f(x)<1
x>0时,0<f(x)<1;x=0时,f(x)=0;x<0时,f(x)>1
∴对任意x都有,
f(x)>0
②任意x1>x2,则x2-x1<0,f(x2-x1)>1
f(x2-x1)=f(x2)×f(x1)=f(x2)×1/f(x1)=f(x2)/f(x1)>1
∵f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)是减函数
③f(4)=f(2
2)=f(2)×f(2)=1/16,
∴f(2)=1/2
f(x-3)×f(5)=f(x-3
5)=f(x
2)
即原不等式转化为
f(x
2)<=f(2)
∵f(x)是减函数
∴x
2>=2
∴x>=0,即解集为[0,
∞)

Answer 4

y=ax^2+bx+c=kx-k-k^2/4
ax^2+(b-k)x+c+k+k^2/4=0
对于任何的实数k都只有一个公共点
即方程恒有一个解，判别式等于0
(b-k)^2-4a(c+k+k^2/4)=0
k^2-2bk+b^2-4ac-4ak-ak^2=0
(1-a)k^2-(4a+2b)k+(b^2-4ac)=0
这是恒等式，与k无关
则只有k^2和k的系数为0
则常数项也是0
所以1-a=0，4a+2b=0,b^2-4ac=0
a=1,b=-2,c=1
y=x^2-2x+1

对称轴为x=2
y=a(x-2)^2+h=ax^2-4ax+(4a+h)
x1+x2=4,x1x2=(4a+h)/a
方程f(x)=0的两个实根平方为10
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=16-2(4a+h)/a=10
4a+h=3a
a=-h
图像过（0，3）
y=ax^2-4ax+(4a+h)
3=0+0+4a+h
4a+h=3
a=-h
h=-1,a=1
f(x)=x^2-4x+3

Answer 5

只要你画出图像就很容易看出最大值和最小值在哪里了。而且这两题是考二次函数的，图像很简单，是抛物线，只要你找到对称轴就很好做了。
我拿第一题举例好了，y=x（4-x）,对称轴很明显是x=2，图像开口向下。而X的取值范围是0＜x＜4，那x=2时取得最大值。即y=2X2=4