Question

曲线x^2+y^2+x-6y+3=0上两点P，Q满足：（1）关于直线kx-y+4=0对称（2）OP垂直OQ

曲线x^2+y^2+x-6y+3=0上两点P，Q满足：（1）关于直线kx-y+4=0对称（2）O为原点，OP垂直OQ
求直线PQ的方程。
注意：O为原点

Answer 1

曲线x^2+y^2+x-6y+3=0为圆,标准方程为:(x+1/2)^2+(y-3)^2=25/4
圆心(-1/2,3)
半径5/2

直线kx-y+4=0过点(0,4),则这点到点P和点Q的距离相等;
另外,圆心到点P与点Q的距离也相等,所以点(0,4)与圆心的连线是PQ的垂直平分线,斜率为2,就是直线kx-y+4=0,则

2x-y+4=0

那么PQ直线的斜率就是-1/2,设方程为y=-x/2+m,代入圆的方程得:
x^2+(-x/2+m)^2+x-6(-x/2+m)+3=0
x^2+x^2/4-mx+m^2+x+3x-6m+3=0
5x^2/4-mx+4x+m^2-6m+3=0

x1+x2=4(4-m)/5
x1*x2=4(m^2-6m+3)/5

再根据PQ中点到O的距离与到点P点Q距离相等可解出x1,x2来.