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lim(n/(n^2+1)+n/(n^2+2^2)+……+n/(n^2+n^2))
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
根据定积分的定义。
对于∫1/(1+x^2) x∈（0，1）
=lim∑1/n*(1/(1+(i/n)^2)
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
则lim(n/(n^2+1)+n/(n^2+2^2)+……+n/(n^2+n^2))
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
=∫1/(1+x^2) x∈（0，1）
=arctanx x∈（0，1）
=π/4
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
根据定积分的定义。
对于∫1/(1+x^2) x∈（0，1）
=lim∑1/n*(1/(1+(i/n)^2)
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
则lim(n/(n^2+1)+n/(n^2+2^2)+……+n/(n^2+n^2))
=lim1/n*[1/(1+1/n^2)+1/(1+(2/n)^2)+……+1/(1+(n/n)^2)]
=∫1/(1+x^2) x∈（0，1）
=arctanx x∈（0，1）
=π/4
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极限是：pi/4.
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