Question

在三角形ABCZ中，若sinA+sinB=sinC*(cosA+cosB) 判断三角形形状

如果∠C的对边c=1， 那么这个三角形内切圆半径的取值范围是什么哦？

Answer 1

sinA+sinB=sinC*(cosA+cosB)
而C=π-（A+B)。
2sin(A+B)/2*cos(A+B)/2=sin(π-（A+B))*2*cos(A+B)/2*cos(A+B)/2
2sin(A+B)/2=sin(A+B)*cos(A+B)/2
则
2sin(A+B)/2=2sin(A+B)/2*cos(A+B)/2*cos(A+B)/2
[cos(A+B)/2]^2=1
即：cos(A+B)/2=±√2/2
(A+B)/2=135°，45°
A+B<180°，
则(A+B)/2=45°，则A+B=90°
则，∠C=90°，
三角形为直角三角形，

∠C的对边c=1
设A,B对应的边位a，b
则内切圆半径r=[(a+b)-1]/2
又a^2+b^2=c^2=1
则(a+b)<√[2(a^2+b^2)]=√2
又由三角形两边之和大于第三边得
a+b>c=1
所以：0<r<(√2-1)/2