关于数列求和的问题
已知{An}是等比数列,A2=2;A5=1/4,求A1A2+A2A3+A3A4+……AnA(n+1)答案是32(1-4^-n)/2要详细的过程还有方法的名称谢谢啊~~~...
已知{An}是等比数列,A2=2;A5=1/4,求A1A2+A2A3+A3A4+……AnA(n+1)
答案是32(1-4^-n)/2
要详细的过程 还有方法的名称 谢谢啊~~~ 展开
答案是32(1-4^-n)/2
要详细的过程 还有方法的名称 谢谢啊~~~ 展开
2个回答
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解:由已知的两项易得出q=1/2,A1=4.运用等比数列通项公式,可列出:
A1A2=(A1^2)q
A2A3=(A1^2)q^3
A3A4=(A1^2)q^5
……
AnA(n+1)=(A1^2)q^(2n-1)
将这些式子相加(即“列项求和法”)得:
A1A2+A2A3+A3A4+……+AnA(n+1)=(A1^2)q+(A1^2)q^3+……+(A1^2)q^(2n-1)
=(A1^2)[q+q^3+……+q^(2n-1)](中括号里是首项q,公比q^2的等比数列前n项求和)
=(A1^2)[q(1-q^2n)/(1-q^2)](中括号中是运用求和公式所得的首项q,公比q^2的等比数列的和)
=(A1^2){(1/2)[(1-(1/2)^2n]/[1-(1/2)^2)]}(再将A1=4代入,并整理)
=16[1-4^(-n)](将此式乘2并除以2就可得到下一步的结果)
=32[1-4^(-n)]/2
解毕
A1A2=(A1^2)q
A2A3=(A1^2)q^3
A3A4=(A1^2)q^5
……
AnA(n+1)=(A1^2)q^(2n-1)
将这些式子相加(即“列项求和法”)得:
A1A2+A2A3+A3A4+……+AnA(n+1)=(A1^2)q+(A1^2)q^3+……+(A1^2)q^(2n-1)
=(A1^2)[q+q^3+……+q^(2n-1)](中括号里是首项q,公比q^2的等比数列前n项求和)
=(A1^2)[q(1-q^2n)/(1-q^2)](中括号中是运用求和公式所得的首项q,公比q^2的等比数列的和)
=(A1^2){(1/2)[(1-(1/2)^2n]/[1-(1/2)^2)]}(再将A1=4代入,并整理)
=16[1-4^(-n)](将此式乘2并除以2就可得到下一步的结果)
=32[1-4^(-n)]/2
解毕
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