Question

在等比数列an中，an>0(n∈N*),公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与as的等比中项为2

1、求an的通项公式
2.设bn=log2^an,数列bn的前n项和为Sn，当S1/1+S2/2+…+Sn/n最大时，求n的值

Answer 1

设首项a1，公比q
则a1*a1*q^4+2a1*a1*q^6+a1*a1*q^8=25
a1*q^2*a1*q^4=2^2
第一式除以第二式得
1/q^2+2+q^2=25/4
4q^4-17q^2+4=0
(4q^2-1)(q^2-4)=0
q=1/2或2（舍去）
q=1/2
a1=16
an=32*(1/2)^n

bn=log2(an)=5-n
Sn=n(9-n)/2
Sn/n=(9-n)/2
S1/1+S2/2+......+Sn/n
=(-n^2+17n)/4
当原式最大时n=8，9

Answer 2

解：(1)已知a1a5+2a3a5+a2a8=25,且2是a3与a5的等比中项,an＞0(n∈N+),公比q∈(0,1)
则4=a3*a5且(a1a5+2a3a5+a2a8)/a3*a5=25/4
整理得到(4q^2-1)(q^2-4)=0
得到q=1/2
a3*a5=a1^2*q^6=4
a1=16
则通项式an=16*(1/2)^(n-1)
(2)bn=log2(an)=5-n
前n项和Sn=n(9-n)/2
从而{Sn/n}={(9-n)/2}容易看出是个等差数列
所以
S1/1+S2/2+......+Sn/n
=(-n^2+17n)/4
这是个抛物线的离散型
得到靠近对称轴的两个值n=8，9
依次代入得到n=8,9时候的数值都是18
所以满足最大值的时候的n的数值是8或者9