Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x,y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），当x>0时，f（x）<0

讨论f（x）的奇偶性和单调性。
需要详细过程

Answer 1

同一楼，f（0）=0
令y=-x则有f（0）=f(X)+f（-x）
f（-x）=-f(x)，故f(x)为奇函数。

设0<x<y,由已知可得f(x)<0,f(y)<0
f(x)+f(y)=f(x+y)<0 ==>f(x)<-f(y)=f(-y),
因为y>0,故-y<0<x，且有f(-y)>f(x)
所以，f(x)在（0，+∞）上单调递减，因为f(x)为奇函数，故在（-∞，0）也递减，所以f(x)在R上单调递减

Answer 2

由f（x+y）=f（x）+f（y）可得
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)------>f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0--->f(x)=-f(x)
故而函数是奇函数
对于任意的x>0,设任意的Δx>0,所以x+Δx>x,f(Δx)<0
f(x+Δx)=f(x)+f(Δx)<f(x)
所以当x>0时，f(x)是单调减函数，
此外，当x>0时，由于f(0)=0>f(x)，故而当x>=0时函数也为单调减函数
由f(x)为奇函数可知,函数在(-∞,0)上也是单调减函数
很显然对于x<0,f(-x)<0,-f(-x)>0,f(0)=0<-f(-x)=f(x)
综上所述，f(x)是单调减函数

Answer 3

令x,y=0
则f（0）=f（0）+f（0），f（0）=0
令y=-x则有f（0）=f(X)+f（-x）
所以，-f(X)=f（-x）
所以是奇函数。
注意，因为定义域是R所以，f(0)必须为0，否则不是奇函数，在做别的类似题的时候要注意这个条件。