Question

高中超难数学题，砸分了啊

1.证明有理数的个数和无理数相等；（不要告诉我都是无限大）
2.一个圆的内接四边形的边长分别为1，2，3，4，求这个圆的半径。

Answer 1

1.如果面对两个无限大的数——比如整数的个数、偶数的个数、有理数的个数、无理数的个数等——书上说不能按照通常“多少”的意义来比较

但是，数学家却发现，有理数个数的无限大 与 无理数个数的无限大 还是有区别的。于是利用这个区别，追加定义了 对无限大的数适用的“多”与“少”

如今知道的是，在这个更广泛的“多少”的意义下，偶数与整数一样多，甚至有理数也与整数一样多；至于无理数，
虽然都是无穷个，但是无理数多 .
数分可数的和不可数的，比如有理数还有如根号2这样的无理数都是可数的。
像自然底数e和圆周率这样的无理数是不可数的，叫做超越数
数轴上几乎100%都是超越数，有理数和可数的无理数的总长度几乎为0

2. AB=2 ,BC=3 ,CD=4 ,DA=1

在△ABC和△ADC中，由余弦定理：
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcosB=13-12cosB
AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CDcosD=17-8cosD
∠B+∠D=180°

13-12cosB=17-8cos(π-B)
-20cosB=4
cosB=-1/5
sinB=√24/5
AC^2=13+12/5

在△ABC中由正弦定理：
2R=AC/sinB
R=AC/2sinB=5*Sqrt(13+12/5)/√24

Answer 2

如果面对两个无限大的数——比如整数的个数、偶数的个数、有理数的个数、无理数的个数等——书上说不能按照通常“多少”的意义来比较

但是，数学家却发现，有理数个数的无限大 与 无理数个数的无限大 还是有区别的。于是利用这个区别，追加定义了 对无限大的数适用的“多”与“少”

如今知道的是，在这个更广泛的“多少”的意义下，偶数与整数一样多，甚至有理数也与整数一样多；至于无理数，
虽然都是无穷个，但是无理数多 .
数分可数的和不可数的，比如有理数还有如根号2这样的无理数都是可数的。
像自然底数e和圆周率这样的无理数是不可数的，叫做超越数
数轴上几乎100%都是超越数，有理数和可数的无理数的总长度几乎为0