Question

f(x-1)和f(x+1)是奇函数,则f(x)是偶函数么? f(x-1)和f(x+1)是奇函数,则f(x)是偶函数么?

还有f(x+3)是奇函数么

Answer 1

令x-1=t，
x=t+1
f(x-1)是奇函数，f(x-1)=-f(-x-1)=-f(-t-2)
f(x+1)是奇函数，f(x+1)=-f(-x+1)=-f(-t)
可知，f(-t-2))=-f(-t)，即f（x）=f（x+2）
可得f（x)是周期为2的周期函数

Answer 2

楼上说“周期为2”是错误的。
根据奇函数的定义，分别令t=x+1和x-1，即可得出f（x）的周期为4.

Answer 3

f(x)不一定是偶函数
f(x-1)和f(x+1)是奇函数，可以得出f（x）是周期函数，周期为2.这个通过奇函数性质很容易得出。
那么我们可以构建一个函数：
f（x）=x-1 (当0<x<2时)，
f（x）=x-3 (当2<x<4时)，
f（x）=x-1 (当4<x<6时)，
。。。。。。

这是一个分段函数，在x周负方向是一样的定义。简单的画图就能看出，这个函数沿着x轴左右移动一个单位后便是奇函数，即f(x-1)和f(x+1)是奇函数。但f（x）本身并不是偶函数。
所以f（x）不一定时偶函数。

而f(x+3)可以肯定是奇函数。利用前面得出的f（x）为周期函数，很容易能得出f（-x）=-f（x）