Question

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAE，且点B、A、

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点。
⑴求证：①BE＝CD；②△AMN是等腰三角形
⑵再图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他不变，得到图②所示的图形，请直接写出⑴中的两个结论是否仍然成立；
⑶在⑵的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P，求证：△PBD∽△AMN

图①

图②

Answer 1

（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．

（3）证明：在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，
∴△PBD∽△AMN．