Question

请教：数学建模，希望能给出详细答案

体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表 参加体能测试的各班人数

班号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人数 41 45 44 44 26 44 42 20 20 38 37 25 45 45 45
班号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
人数 44 20 30 39 35 38 38 28 25 30 36 20 24 32 33
班号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
人数 41 33 51 39 20 20 44 37 38 39 42 40 37 50 50
班号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
人数 42 43 41 42 45 42 19 39 75 17 17

Answer 1

本文讨论的是学生体能测试时间最优安排问题。在每个测试项目每人测试时间与测试机器数量一定的情况下，对问题一、二、三建立数学模型，并借助于LINGO软件进行求解，解决了如何安排以尽可能少的时间完成所有项目的测试问题。
模型一：考虑一个班级的情况，分析项目的测试时间与机器数量，将五个测试项目分四个组进行同步测量，并将班级的学生按学号连续分成四个组，建立多目标线性规划模型，得出测量时间最少的方案一。
模型二：考虑多个班级的情况，同样先将五个测试项目分成四个组进行同步测量，并将班级的学生按学号连续分成四个组，建立线性规划模型并求解，得出测量时间最少的方案二。
模型三：在模型一与模型二的基础上，考虑仪器数、场地容量与分组情况，再次建立与求解规划模型，提出了最优决策方案。
[关键词]：体能测试 等待时间 规划模型

一、问题重述
（一）问题的基本情况与要求：
体能测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。现有身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前都要录入个人信息，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，同一班学生的学号是相连。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
（二）需要解决的问题：
（1）学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
（2）用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，用图表形式表示出测试时间的安排计划
（3）对学校以后的体能测试就“引进各项测量仪器”，“增加测试场所的人员容量”，“一个班的学生测试时是否需要分组”等几个方面作出讨论。
二、问题分析
问题一的分析：
此时只考虑一个班的学生数，人数必定在容纳范围之内，只需考虑使录入和等待时间尽可能小这两个条件。前一条件可对学生进行连续分组。后一条件，由于身高与体重的测试和握力测试两项的总时间均小于其他三个单项的测试时间，故可将它们看为一个整体。即将该班分成学号连续的4组，同步测量，产生四个阶段。所有的同步测量项目全部完成为各个阶段结束的标志。在每个阶段中，4组项目里必定有测试所需时间最多与最少的一组，这两组之差（这两组之差，记为等待时间，它是一个变量；同个组内学生的等待时间为一个常量）越小即意味着这四组越接近同步地完成这一阶段的测试。规划问题的求解，找出规划的目标函数，为令这四个阶段的等待时间之和最小。
问题二的分析：
在给定的测量仪器中，身高与体重的测量仪器有三台，每台仪器每个学生的平均测试时间（包括学生的转换）为10秒，即每个学生的测试时间为秒（由此可以知道测量的人数是3个人或3个人以上且是被3整除）；握力测量仪器有两台，每台仪器每个学生平均测试时间为15秒，即每个学生的测试时间为秒（由此可以知道测量的人数是2个人或2个人以上且被2整除），又因为身高与体重和握力所测试的时间之和还小于立定跳远、肺活量、台阶试验所需要的时间，所以可以将身高与体重和握力看成一个整体；立定跳远、肺活量测量仪器各一台，每台仪器每个学生平均的测试时间为20秒，即每个学生的测试时间为20秒；台阶试验测量仪器有两台，每台仪器一次测试5个学生，而每台每个学生平均测试时间为210秒，所以每个学生的测试时间为21秒（由此可以知道测量的人数是10个人或10个人以上且被10整除），由此可以得出这四者时间比为1：2：2：2。根据问题一的思路，建立模型，最后用拟合的方法对各班级进行数据拟合，求出最佳分组方案。
问题三的分析：
该问题是对问题一和二的深入和扩展，就仪器数，场地容量大小和分组情况进行讨论。
三、模型假设
1) 每个项目同组测试的学生学号连续；
2) 测试的机器均正常工作；
3) 学生测试一个紧接着一个，之间没有时间空格；
四、符号说明
：第 组测试的人数 ；
：第 阶段中测量时间最长的项目所花的时间；
：第 阶段中测量时间最短的项目所花的时间；
：第 阶段测试学生等待时间总和
：一个班的学生总人数；
N ：几个班合起来的学生总人数；
：每个阶段中测试人数多的项目向人数少的项目调出的人数；
五、模型建立与求解
模型一 我们把每班分成四个小组， 为第 组测试的人数 ，同时把测试过程分成四个阶段，每一阶段每一组都要完成所有规定的测试项目，当每一组测试完某一项目后进入下阶段测试时，每组间可以随机变换每一项测试项目，但不重复测试。根据题目分析，测量身高与体重、握力的人均时间之和，比测量立定跳远、肺活量、台阶中每一项人均时间还要小，因此将测量身高体重与握力所用的时间合在一起，把测量学生分成4组，其目标使：

假设将某个班分组，每组人数都被2、3、10整除，这样每个项目测量利用率最大。
第一阶段的模型：

约束条件：
第二阶段的模型：

约束条件：
第三阶段的模型：

约束条件： ；
第四阶段：
；
；
约束条件： ；
其中， ，

：代表一个整数的中间变量 。

假设一个班有40人分成四组，四组的学号分别1—10；11—20；21—30；31—40。第一组测完之后，第二组接上去测，这样学号连接着，这样就可以减少录入时间，拟定了一套方案如图：

总目标函数为：
第一阶段：
；
；
约束条件： ；
第二阶段：
；
；
约束条件： ；
第三阶段：；
；
；
约束条件： ；
第四阶段：
；
；
约束条件： ；
其中， ，

：整数 ；
结论：令各个阶段的等待时间最短，就可以使得整个过程的测量时间最短。
模型二： 由问题二分析可知，每个学生测试身高体重与握力的时间跟立定跳远，肺活量，台阶测试的时间比为约1：2：2：2，也就是说当学生人数比约为2：1：1：1，所用等待时间是最短的，但当到达第二阶段第三阶段第四阶段时，所用时间并不是最优的。为使整体达到最优化状态，可以将分配到测量身高体重与握力的学生拿出一部分平均分配到立定跳远、肺活量、台阶测试组，而这比例中分析可以知道，测量身高体重与握力的人数还要大于其余各组的人数，所以当达到第二阶段时，在时间比不变的情况下，人数发生变化，测量身高体重与握力，肺活量和台阶试验的人数是一样的，立定跳远的人数最多。测量身高体重与握力的时间最少，而立定跳远的时间则是相对最多的，由此也可以达到最优。第三阶段与第四阶段与前两阶段一样，可以做到时间最优，从而达到整体最优。该测试场所所能容纳的最多人数是150个学生，因此可以先将150个学生看成一个整体，即学生的学号也是连续的。

用 LINGO软件进行求解，得出结果。（附录一）测试完所有的学生所用的等待时间最少为1575秒，此时第一阶段所用最长时间 为845秒，第二阶段所用最长时间 为805秒，第三阶段所用的最长时间 为805秒，第四阶段所用的最长时间 为845秒，从而可以知道测试完所有学生所用的时间为3300秒。而从测量身高体重与握力的学生中分配出去的人数为21人，所以每个组安排的人数应为39，37，37，37人。
在测试的等待时间最少的情况下，录入时间减少，那么整体时间也就可以减少。录入时间尽可能小的方法是减少录入次数。在班级组合的情况下，每个班里被分开的学生人数越少，录入次数也就越小。
20以下 19，17，17，
20-29 26，20，20，25，20，28，25，20，24，20，20，
30-39 38，37，30，39，35，38，38，30，36，32，33，33，39，37，38，39，37，39，
40-49 41，45，44，44，44，42，45，45，45，44，41，44，42，40，42，43，41，42，45，42，
50以上 51，50，50，75，

按照上面要求根据班级人数对其拟定组合，安排如下：
序号 序号
1 39，37，37，37 8 44，44，42，20
2 75，50，25 9 41，43，36，30
3 51，45，44，20 10 41，42，17，30，20
4 50，42，38，20 11 42，38，32，38
5 45，45，40，20 12 39，33，28，35
6 45，45，41，19 13 39，33，38，39
7 44，44，42，20 14 26，25，24，17
对各班组合人数为150的记多出的录入次数为 （i=1,2,3……）， 依次为0，2，3，3，3，3，3，3，3，3，3，；多次运行附录一程序得出对应的 ，由公式 （录入时间5秒，5项累加为25），可以得到多个班组合成150人的整体后又分别对应的一个时间段 （ 代表第i个组合的所有学生5项全部测完所花的时间），依次为：3300，3350，3375，3375，3335，3375，3375，3375，3375，3375，3375。班组合人数达不到150，剩下三个组合人数分别为135，149，92人，通过每项测量时间比例分析，首先能被5整除的整数部分按比例分配到各测试中去，还有余数的都归到身高与体重和握力。
；
约束条件 运用LINGO软件进行求解，得出结果。（附录二）在将135个学生看成一个班时，等待时间最少为1475秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为685秒，第三阶段的最长测试时间为685秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3060秒。（附录三）在将149个学生看成一个班时，等待时间最少为1600秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为705秒，第三阶段的最长测试时间为705秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3100秒。（附录四）在将92个学生看成一个班时，等待时间最少为1080秒，而第一阶段的最长测试时间为635秒，第二阶段的最长测试时间为445秒，第三阶段的最长测试时间为445秒，第四阶段的最长测试时间为635秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为2160秒。
不同班级的组合方式
时间段 全校班级组合 班级组合后的人数 所需时间(分) 秒
8:00-9:00 40\43\11\38 （39，37，37，37） 54.33333333 3260
9:05 -10:05 54\45\24 （75，50，25） 55.16666667 3310
10:10-11:10 33/37/14/8 （51，45，44，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 44/41/39/9 （50，42，38，20） 55.58333333 3335
13:30-14:30 2/13/35/42 （45，45，40，20） 55.58333333 3335
14:35-15:35 15/48/50/52 （45，45，41，19） 55.58333333 3335
15:40-16:40 3/4/7/9 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
8:00-9:00 6/16/36/46 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
9:05 -10:05 25/26/31/47 （41，43，36，30） 55.58333333 3335
10:10-11:10 1/18/27/49/55 （41，42，17，30，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 10/29/21/51 （42，38，32，38） 55.58333333 3335
13:30-14:30 34/32/20/23 （39，33，28，35，） 51 3060
14:35-15:35 19/22/30/53 （39，33，38，39，） 51．66 3100
15:40-16:40 5/12/28/56 （26，25，24，17） 36 2160
问题三：
对学校以后的体能测试就“引进各项测量仪器”，“增加测试场所的人员容量”，“一个班的学生测试时是否需要分组”等几个方面作出讨论。
由上述解答可知，身高体重与握力的总测量时间跟立定跳远、肺活量、台阶试验的测量时间之比约为1：2：2：2时，满足第一阶段等待时间最短的需求，故身高体重与握力的总测量人数与立定跳远、肺活量、台阶试验的测量人数之比接近于2：1：1：1。但是在第二阶段中，人数之比另有（1：2：1：1 ），（1：1：2：1），（1：1：1：2）几种情况，这几种情况都能够大幅影响各个阶段的等待时间。等待时间越小，就应令身高体重与握力的总测量时间跟立定跳远、肺活量、台阶试验的测量时间之比接近1：1：1：1，此时立定跳远，肺活量，台阶测试仪应分别增加1，1，2台。而令满足第一阶段等待时间最小且对应的人数之比为1：1：1：1时，不论哪个阶段等待时间都是最小的。此时新增的仪器数量为：身高与体重测量仪3台，立定跳远仪器2台，肺活量测试仪器2台，握力测试仪器2台，台阶测试仪4台，在资金允许的情况下，仪器按照此比例的增加最为合理。
测量场所的人员容量越大，学校安排的总体测量时间也就越少，通过对此学校每个班的人数和每个班的人数在哪个范围的分析如下表：
班级人数 班级个数 总人数 比值
20以下 3 53 0.0535
20-30 11 248 0.1964
30-40 18 648 0.3214
40-50 20 861 0.3571
50以上 4 226 0.0714
合计 56 2036
通过计算他们的期望值，即可求出该学校体能测量场所的容量。该期望值代表的是学生人数，因此对每部分的期望值应进行取整。不同人数段的班级总人数与其相对应的比值乘积之和即为期望值：3+45+209+294+17=568。
假如一个班的学生不进行分组测试，这样只要考虑录入时间；这个班的分组测试既要考虑各组（各组学生的学号是连续的）的录入时间又要考虑等待时间，这两种情况只要考虑哪个时间长。假定这个班级有学生数为n，第一种情况的录入时间为25n；第二种情况分组，建立以下模型：
；
约束条件
第二种情况下的时间为（5*25+Z） ，跟第一种的录入时间对比，如果第二种情况的时间小，则应该分组，反之亦然。
六、模型评价
优点：
1) 建立的数学模型通过LINGO软件的运用，严格的对模型进行求解，具有科学性；
2) 建立的模型一有较强的通用性，便于推广；
3) 建立的模型二与实际紧密联系，充分考虑了实际存在的问题，使模型具有较强的应用性。
缺点：
1) 在模型一的建立中，将模型理想化，只考虑测量时间和整体录入时间，并且未能计算出具体方案；
2) 在模型二的建立中，用拟合的方法对人数进行拟合，其结果可能并不是最优的；
3) 由于时间的关系未能将模型三的是否分组一问得出明确的答案。
七、模型扩展
该模型的建立解决的是一个体能测试的时间安排问题，采用动态目标线性规划建立一个相关性模型，再利用时间比例来反映学生人数的一个比例建立单目标规划，最后运用LINGO软件进行求解。因此，该模型还可以应用与其他类似的时间安排，如：零件的测试时间安排，零件安装的时间安排，选课的合理安排等问题。