Question

关于“闭区间上连续函数的性质”的一道题

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，xi属于[a,b]，ti > 0(i=1,2,…,n),且t1 + t2 + … + tn =1。证明：存在e属于[a,b]，使f(e) = t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)
小弟实在是没有思路，求达人帮助解决。

Answer 1

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则此区间必定有最大值与最小值
设最大值为M,最小值为m
则：m<=f(xi)<=M
即m<=f(x1)<=M，m<=f(x2)<=M，...m<=f(xn)<=M
那么有：
(t1+t2+…+tn)*m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=(t1+t2+…+tn)*M
而t1 + t2 + … + tn =1，则
m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=M
而m<=f(xi)<=M
由介值定理，一定存在e∈[a,b],使得，
f(e)=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)