关于“闭区间上连续函数的性质”的一道题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,xi属于[a,b],ti>0(i=1,2,…,n),且t1+t2+…+tn=1。证明:存在e属于[a,b],使f(e)=t1f(x...
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,xi属于[a,b],ti > 0(i=1,2,…,n),且t1 + t2 + … + tn =1。证明:存在e属于[a,b],使f(e) = t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)
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函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则此区间必定有最大值与最小值
设最大值为M,最小值为m
则:m<=f(xi)<=M
即m<=f(x1)<=M,m<=f(x2)<=M,...m<=f(xn)<=M
那么有:
(t1+t2+…+tn)*m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=(t1+t2+…+tn)*M
而t1 + t2 + … + tn =1,则
m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=M
而m<=f(xi)<=M
由介值定理,一定存在e∈[a,b],使得,
f(e)=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)
设最大值为M,最小值为m
则:m<=f(xi)<=M
即m<=f(x1)<=M,m<=f(x2)<=M,...m<=f(xn)<=M
那么有:
(t1+t2+…+tn)*m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=(t1+t2+…+tn)*M
而t1 + t2 + … + tn =1,则
m<=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)<=M
而m<=f(xi)<=M
由介值定理,一定存在e∈[a,b],使得,
f(e)=t1f(x1) + t2f(x2) + … + tnf(xn)
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