Question

[高分悬赏]一道数学题.速度.

在平面直角座标系中,矩形OABC的点A在x轴的负半轴上,点C座标为(0,2)有一直角三角板的直角顶点P在OA上移动(与O,A不重合)一条直角边PF始终经过点C,另一直角边PE与AB交与点D.
(1)当点P移动到PC=PD时,tan角CPO=2,抛物线y=ax^2+ax-2过点D,求抛物线的解析式
(2)BC上有一点Q,QC=1,在(1)的条件下,请在x轴.y轴上分别确定点S,T.使四边形DSTQ的周长最小,并求出最小周长
(3)在(1)的抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点G.H.使得四边形PCGH为正方形?若存在请求出G.H的座标,如果不存在,请说明理由
(4)如果点M是第三象限抛物线上一动点,以M为圆心作圆,使圆M与直线DP相切,是否存在点M,使圆M面积最大如果存在,请求出点M的座标,如果不存在,请说明理由.
图

Answer 1

解：（1）点C坐标为(0,2)，故：OC＝2
因为tan∠CPO=OC/OP=2，故：OP=1
因为DP⊥PC，矩形OABC，故：∠DPA+∠CPO=∠PCO+∠CPO=90度
故：∠DPA =∠PCO
因为PC=PD，∠DAP＝∠PCO
故：△DAP≌△POC 故：AD=OP=1,PA=OC=2，故：OA=3
故：D（－3，1）
因为抛物线y=ax² +ax-2过点D，故：a=1/2
故：抛物线的解析式为y=1/2x² +1/2x-2

（2）D关于x轴的对称点M(－3，－1)
因为BC上有一点Q,QC=1，故：Q（－1，2）,则：Q关于y轴的对称点N（1，2）
过MN的直线方程为y=3/4x+5/4
直线y=3/4x+5/4与x轴.y轴的交点就是S,T
故：S（－5/3，0），T（0，5/4）
故：最小周长为5+√5(利用勾股定理可以求出四边形DSTQ每边长√5、25/12、5/3、5/4，也可以利用勾股定理求出MN＝5，DQ＝√5)

(3)、(4)计算量太大。明天看有没有时间
（3）先假设存在，主要求直线方程及其与抛物线的交点
（4）求出PD直线方程，与PD直线平行的直线方程的k值（斜率）与PD直线相同，然后利用该直线与抛物线只有一个交点时，（△＝0），可以求出M坐标

兑现昨晚的诺言，一时无法领会的地方，可以百度Hi我
解：（3）设GH与x轴的交点为I，再过H作x轴的垂线。利用三角形全等，不难求出H(1,-1)
过G作y轴的垂线，利用三角形全等，不难求出G（2,1）
因为抛物线的解析式为y=1/2x² +1/2x-2
把H(1,-1)、G（2,1）代入y=(1/2)x² +(1/2)x-2可知：H(1,-1)、G（2,1）在抛物线上。故：在抛物线上存在两点G.H.使得四边形PCGH为正方形
（4）因为D（－3，1），P(-1,0)
故：过P、D的直线方程为y=-(1/2)x-1/2
M是第三象限抛物线上一动点,以M为圆心作圆,使圆M与直线DP相切,则：M是与直线y=-(1/2)x-1/2平行的直线和y=(1/2)x² +(1/2)x-2的唯一交点上
设与直线y=-(1/2)x-1/2平行的直线为y=(-1/2)x+b
即：y=(-1/2)x+b和y=(1/2)x² +(1/2)x-2有唯一的实数解
故：△＝0，可以求得：b=-5/2
故：交点坐标为；(-1,-2)，即M的坐标

Answer 2

大哥.给个图好么.
我好懒.

Answer 3

你若只要答案我就去算 只给你答案1a=1/2 2 Lmin=5+根号下5 3 H（1，-1） G（2，1） 4 M（-1，-2）

Answer 4

图捏~~~~先看下图啦~~~~

Answer 5

1、由题意可知：∠DPA=∠PCO，又DP=CP，则Rt△DAP≌Rt△POC。可得AD=OP，AP=CO。而OC=2，tan∠CPO=2,得OP=1，AP=2。有D(-3,1),从而9a-3a-2=1,解得a=1/2,所以，抛物线的解析式为y=(1/2)x²+(1/2)x-2。
2、设D(-3,1)关于x轴的对称点为E(-3,-1),点Q(-1,2)关于y轴的对称点为F(1,2)。连接EF分别交x轴、y轴于点S、T，这两点满足条件。这是因为SD=ES，QT=TF，且E、S、T、F四点在一条直线上，所以有DS'+S'T'+T'Q≥DS+ST+TQ。并立即可得四边形的周长为EF+DQ=√(9+16)+√5=5+√5。
3、由(1)知抛物线的对称轴为x=-1/2,假设存在G(x1,y1)、H(x2,y2)使得四边形PCGH为正方形(x1＞-1/2,x2＞-1/2)，则H必为PD与抛物线的交点，解得H(1,-1)。又PC‖GH且PC=GH=√5,有(y1+1)/(x1-1)=2,(y1+1)²+(x1-1)²=5,解得x1=2(因为x1＞1,所以x1=0舍去)，y1=1。即存在两点G(2,1)、H(1,-1)使得四边形PCGH为正方形。
4、此问题就是在抛物线上求一点M(x,y)(-2＜x＜0),使得点M到直线PD的距离最大。这一点肯定存在。PD的方程为x+2y+1=0,r=|x+x²+x-3|/√5=|x²+2x-3|/√5。因为-2＜x＜0，所以x²+2x-3＜0。从而r=(-x²-2x+3)/√5，当且仅当x=-1时r有最大值(4√5)/5。存在点M(-1,-2),使圆M面积最大，最大面积为16π/5。

Answer 6

16π/5