Question

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题答案

D题：体能测试时间安排
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表 参加体能测试的各班人数

班号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人数 41 45 44 44 26 44 42 20 20 38 37 25 45 45 45
班号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
人数 44 20 30 39 35 38 38 28 25 30 36 20 24 32 33
班号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
人数 41 33 51 39 20 20 44 37 38 39 42 40 37 50 50
班号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
人数 42 43 41 42 45 42 19 39 75 17 17

希望大家能帮助我解决！谢谢！希望快点！
什么意思？你糊了？

Answer 1

：整数 ；
结论：令各个阶段的等待时间最短，就可以使得整个过程的测量时间最短。
模型二： 由问题二分析可知，每个学生测试身高体重与握力的时间跟立定跳远，肺活量，台阶测试的时间比为约1：2：2：2，也就是说当学生人数比约为2：1：1：1，所用等待时间是最短的，但当到达第二阶段第三阶段第四阶段时，所用时间并不是最优的。为使整体达到最优化状态，可以将分配到测量身高体重与握力的学生拿出一部分平均分配到立定跳远、肺活量、台阶测试组，而这比例中分析可以知道，测量身高体重与握力的人数还要大于其余各组的人数，所以当达到第二阶段时，在时间比不变的情况下，人数发生变化，测量身高体重与握力，肺活量和台阶试验的人数是一样的，立定跳远的人数最多。测量身高体重与握力的时间最少，而立定跳远的时间则是相对最多的，由此也可以达到最优。第三阶段与第四阶段与前两阶段一样，可以做到时间最优，从而达到整体最优。该测试场所所能容纳的最多人数是150个学生，因此可以先将150个学生看成一个整体，即学生的学号也是连续的。

用 LINGO软件进行求解，得出结果。（附录一）测试完所有的学生所用的等待时间最少为1575秒，此时第一阶段所用最长时间 为845秒，第二阶段所用最长时间 为805秒，第三阶段所用的最长时间 为805秒，第四阶段所用的最长时间 为845秒，从而可以知道测试完所有学生所用的时间为3300秒。而从测量身高体重与握力的学生中分配出去的人数为21人，所以每个组安排的人数应为39，37，37，37人。
在测试的等待时间最少的情况下，录入时间减少，那么整体时间也就可以减少。录入时间尽可能小的方法是减少录入次数。在班级组合的情况下，每个班里被分开的学生人数越少，录入次数也就越小。
20以下 19，17，17，
20-29 26，20，20，25，20，28，25，20，24，20，20，
30-39 38，37，30，39，35，38，38，30，36，32，33，33，39，37，38，39，37，39，
40-49 41，45，44，44，44，42，45，45，45，44，41，44，42，40，42，43，41，42，45，42，
50以上 51，50，50，75，

按照上面要求根据班级人数对其拟定组合，安排如下：
序号 序号
1 39，37，37，37 8 44，44，42，20
2 75，50，25 9 41，43，36，30
3 51，45，44，20 10 41，42，17，30，20
4 50，42，38，20 11 42，38，32，38
5 45，45，40，20 12 39，33，28，35
6 45，45，41，19 13 39，33，38，39
7 44，44，42，20 14 26，25，24，17
对各班组合人数为150的记多出的录入次数为 （i=1,2,3……）， 依次为0，2，3，3，3，3，3，3，3，3，3，；多次运行附录一程序得出对应的 ，由公式 （录入时间5秒，5项累加为25），可以得到多个班组合成150人的整体后又分别对应的一个时间段 （ 代表第i个组合的所有学生5项全部测完所花的时间），依次为：3300，3350，3375，3375，3335，3375，3375，3375，3375，3375，3375。班组合人数达不到150，剩下三个组合人数分别为135，149，92人，通过每项测量时间比例分析，首先能被5整除的整数部分按比例分配到各测试中去，还有余数的都归到身高与体重和握力。
；
约束条件 运用LINGO软件进行求解，得出结果。（附录二）在将135个学生看成一个班时，等待时间最少为1475秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为685秒，第三阶段的最长测试时间为685秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3060秒。（附录三）在将149个学生看成一个班时，等待时间最少为1600秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为705秒，第三阶段的最长测试时间为705秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3100秒。（附录四）在将92个学生看成一个班时，等待时间最少为1080秒，而第一阶段的最长测试时间为635秒，第二阶段的最长测试时间为445秒，第三阶段的最长测试时间为445秒，第四阶段的最长测试时间为635秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为2160秒。
不同班级的组合方式
时间段 全校班级组合 班级组合后的人数 所需时间(分) 秒
8:00-9:00 40\43\11\38 （39，37，37，37） 54.33333333 3260
9:05 -10:05 54\45\24 （75，50，25） 55.16666667 3310
10:10-11:10 33/37/14/8 （51，45，44，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 44/41/39/9 （50，42，38，20） 55.58333333 3335
13:30-14:30 2/13/35/42 （45，45，40，20） 55.58333333 3335
14:35-15:35 15/48/50/52 （45，45，41，19） 55.58333333 3335
15:40-16:40 3/4/7/9 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
8:00-9:00 6/16/36/46 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
9:05 -10:05 25/26/31/47 （41，43，36，30） 55.58333333 3335
10:10-11:10 1/18/27/49/55 （41，42，17，30，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 10/29/21/51 （42，38，32，38） 55.58333333 3335
13:30-14:30 34/32/20/23 （39，33，28，35，） 51 3060
14:35-15:35 19/22/30/53 （39，33，38，39，） 51．66 3100
15:40-16:40 5/12/28/56 （26，25，24，17） 36 2160
问

路勇<luyong361@qq.com> 21:02:57

：整数 ；
结论：令各个阶段的等待时间最短，就可以使得整个过程的测量时间最短。
模型二： 由问题二分析可知，每个学生测试身高体重与握力的时间跟立定跳远，肺活量，台阶测试的时间比为约1：2：2：2，也就是说当学生人数比约为2：1：1：1，所用等待时间是最短的，但当到达第二阶段第三阶段第四阶段时，所用时间并不是最优的。为使整体达到最优化状态，可以将分配到测量身高体重与握力的学生拿出一部分平均分配到立定跳远、肺活量、台阶测试组，而这比例中分析可以知道，测量身高体重与握力的人数还要大于其余各组的人数，所以当达到第二阶段时，在时间比不变的情况下，人数发生变化，测量身高体重与握力，肺活量和台阶试验的人数是一样的，立定跳远的人数最多。测量身高体重与握力的时间最少，而立定跳远的时间则是相对最多的，由此也可以达到最优。第三阶段与第四阶段与前两阶段一样，可以做到时间最优，从而达到整体最优。该测试场所所能容纳的最多人数是150个学生，因此可以先将150个学生看成一个整体，即学生的学号也是连续的。

Answer 2

班号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
人数 41 45 44 44 26 44 42 20 20 38 37 25 45 45 45
班号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
人数 44 20 30 39 35 38 38 28 25 30 36 20 24 32 33
班号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
人数 41 33 51 39 20 20 44 37 38 39 42 40 37 50 50
班号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
人数 42 43 41 42 45 42 19 39 75 17 17

Answer 3

不懂啊,,我糊了..