Question

高数：如何计算sint^2cost^7的积分?

S表示积分号，中括号代表积分限，那么
S[0,Pi/2](sint^2*cost^7)dt=?

答案是(2-1)!!(7-1)!!/(9-1)!!，很想知道这个积分答案是怎么求出来的，高手给个过程吧! 谢谢
(2-1)!!(7-1)!!/(9-1)!!，这里两个感叹号是什么意义，是阶乘的阶乘吗? 这个答案是怎么推导出来的呢?-1/9*sin(t)*cos(t)^8+1/63*cos(t)^6*sin(t)+2/105*cos(t)^4*sin(t)+8/315*cos(t)^2*sin(t)+16/315*sin(t)
谢谢！！

Answer 1

∫_0^(π/2)▒〖(sint)〗^2 〖(cost)〗^7 dt
=∫_0^(π/2)▒〖[1-〖(cost)〗^2 〗]〖(cost)〗^7dt
=∫_0^(π/2)▒〖(cost)〗^7 dt-∫_0^(π/2)▒〖(cost)〗^9 dt
关于∫_0^(π/2)▒〖（sint)〗^n dt或∫_0^(π/2)▒〖（cost)〗^n dt有个公式
若n为偶数则
∫_0^(π/2)▒〖（sint)〗^n dt或∫_0^(π/2)▒〖（cost)〗^n dt=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*….3/4*1/2 *π/2
若n 为奇数则
∫_0^(π/2)▒〖（sint)〗^n dt或∫_0^(π/2)▒〖（cost)〗^n dt=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…4/5*2/3
很显然7和9都是奇数
则上式 = 6/7*4/5*2/3 - 8/9*6/7*4/5*2/3

Answer 2

-1/9*sin(t)*cos(t)^8+1/63*cos(t)^6*sin(t)+2/105*cos(t)^4*sin(t)+8/315*cos(t)^2*sin(t)+16/315*sin(t)