求函数f(x)=cosx+sinx,x∈[0,π]的值域
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cosx+sinx=(√2)sin(x+π/4)
∵x∈[0,π]
∴x+π/4∈[π/4,3π/4]
∴sin(x+π/4)∈[√2,1]
∴(√2)sin(x+π/4)∈[2,√2]
∴f(x)=cosx+sinx,x∈[0,π]的值域为[2,√2]
此题的方法是利用了三角函数的有界性和辅助解公式。
∵x∈[0,π]
∴x+π/4∈[π/4,3π/4]
∴sin(x+π/4)∈[√2,1]
∴(√2)sin(x+π/4)∈[2,√2]
∴f(x)=cosx+sinx,x∈[0,π]的值域为[2,√2]
此题的方法是利用了三角函数的有界性和辅助解公式。
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cosx+sinx=(√2)sin(x+π/4)
∵x∈[0,π]
∴x+π/4∈[π/4,5π/4]
而sin(x+π/4)在[π/4,5π/4]上最小值为-√2/2,最大值为1（可从函数图像看出）
∴(√2)sin(x+π/4）∈[-1,√2]
∴f(x)=cosx+sinx,x∈[0,π]的值域为[-1,√2]
∵x∈[0,π]
∴x+π/4∈[π/4,5π/4]
而sin(x+π/4)在[π/4,5π/4]上最小值为-√2/2,最大值为1（可从函数图像看出）
∴(√2)sin(x+π/4）∈[-1,√2]
∴f(x)=cosx+sinx,x∈[0,π]的值域为[-1,√2]
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