Question

已知定义在R上的函数f(x)=asinwx+bsinwx，(w>0,a>0,b>0)周期为π，f(x)<=2,f(π/4)=√3

(1)写出f(x)的表达式
(2)求函数f(x)在区间[-π/2，π/2]上的单调区间

Answer 1

f(x)=asinwx+bcoswx=√(a²+b²)sin(ωx+θ);θ=arctan(b/a)>0
周期为π=2π/ω;ω=2
f(x)≤2;√(a²+b²)=2
sin(π/2+θ)=√3/2;π/2+θ=π/2±π/6+2kπ
θ=π/6
f(x)=2sin(2x+π/6)

单调区间2x+π/6∈[(2k-1/2)π,(2k+1/2)π];x∈[(k-1/3)π,(k+1/6)π];
考虑x∈[-π/2，π/2]
xx∈[-π/3，π/6]

Answer 2

(1)f(x)=(a+b)sinwx
周期为π，所以w=2
所以f(x)=(a+b)sin2x
f(π/4)=√3,所以a+b=√3
所以f(x)=√3sin2x
(2)根据正弦函数图像的性质，
该函数在[-π/4,π/4]单调递增，在[-π/2,-π/4)U(π/4,π/2]上单调递减。