Question

已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).判断三角形ABC的形状．

要过程噢！～

Answer 1

因为有：
sinC=sin(A+B)

所以原式可以化简为：
2*sin[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]*2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
= 2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
=>cos[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]=1/2

=>sin(C/2)*sin(C/2)=1/2

=>C/2=45(度）

=>C=90(度）

所以该三角形是直角三角形。

Answer 2

sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)

sin(A+B)=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)

(sinAcosB+cosAsinB)(cosA+cosB)=sinA+sinB

sinAcosAcosB+sinAcos²B+cos²AsinB+cosAcosBsinB=sinA+sinB

sinA(cosAcosB+cos²B-1)+sinB(cos²A+cosAcosB-1)=0

sinA(cosAcosB-sin²B)+sinB(cosAcosB-sin²A)=0

(sinA+sinB)cosAcosB=sinAsinB(sinA+sinB)

cosAcosB=sinAsinB
(这里也可以做一下分析，因为A=90°的时候，B=0°，或者A,B值反过来上式也成立，但因为在三角形中，不可能有0°角，所以A,B都不等于0°)
tanAtanB=1
所以A+B=90°
C=90°
三角形是直角三角形

Answer 3

sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB).
和差化积
sinC=[2sin(A+B)/2cos(A-B)/2]/[2cos(A+B)/2cos(A-B)/2]
=tan(A+B)/2=tan(π-C)/2=cotC/2=cosC/2/sinC/2
又sinC=2sinC/2*cosC/2

2sinC/2*cosC/2=cosC/2/sinC/2
sinC/2^2=1/2
sinC/2=根号2/2
所以C/2=45`
C=90`
所以是直角三角形

Answer 4

直角三角形. 这是公式.