Question

一道数学题（高分悬赏）

如果,把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M,连结DM、FM
（1）探究线段MD,MF的关系,并加以证明.
（2）若将正方形CGEF绕C反时针旋转使B、C、G在同一直线上，其他条件不变，探究MD、MF的关系并加以证明

（图是一小问的）
此为初一的复习题...

Answer 1

(1）延长DM，交BE于点P

则△AMD≌△PME

∴PE=AD=CD，

∵CF=EF，∠DCF=∠PEF

∴△CDF≌△EPF

∴FD=FP，∠DFC=∠EFP

∴△DFP是等腰直角三角形

∴DM=FM，DM⊥FM

(2)延长DM，交EF于点P

则△AMD≌△EMP

∴PE=AD，DM=MP

∴EF-PE=EF-AD=CF-CD，即FP=FD

∴△DFP是等腰直角三角形

∵DM=MP，FD=FP，FM公用，∴△FMD≌△FMP

所以在直角三角形DFP中，DM=FM，DM⊥FM

Answer 2

3）MD=MF，MD⊥MF，
证法一：如图丙，延长DM到N，
使MN=MD，连接FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H．
在△AMD与△EMN中，
∵MA=ME∠1=∠2MD=MN​，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3=∠4，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠3=∠4，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠5=∠6，
∴∠7=∠8．
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
在△DCF与△NEF中，
∵DC=NE∠DCF=∠FENFC=FE​，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）
证法二：如图丙，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
在△DCF与△NEF中，
∵DC=NE∠DCF=∠NEFFC=FE​，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）

Answer 3

1）延长DM，交BE于点P
则△AMD≌△PME
∴PE=AD=CD，
∵CF=EF，∠DCF=∠PEF
∴△CDF≌△EPF
∴FD=FP，∠DFC=∠EFP
∴△DFP是等腰直角三角形
∴DM=FM，DM⊥FM

Answer 4

这个题最简单的方法是建平面直角坐标系，利用向量点乘为0证明。具体的你自己去算。

Answer 5

。。

看到好多高手的。。

本来想回答的自信都没了。。

特别有一个兄台还有图啊！！

佩服

Answer 6

牛B人 无处不在啊 制个图都是没什么难哦 主要就是 你们竟然弄得那么快 那么就答好了 你们等在电脑旁边随时准备着是不 有没等着分来啊 事实上嘛 这题我钻研了下 我也会啦 但是不过答案已经有了 我也就不写了 不过我很郁闷啊 为什么这个问题竟然还出现在待解决问题里面啊 解决了嘛 是对的啊 你应该看得出来啊 干嘛不给分呢 我不懂 指教下我？