Question

下午考线性代数。。一问题。。急急急。。

矩阵A= 1 0 1 若能对角化，求可逆矩阵P和对角矩阵B，使得P^-1AP=B
0 1 0
1 0 1

现在我求出了特征值和对应的特征向量（基础解），假如设X1 X2 X3为这三个特征向量，那么X1 X2 X3是不是都要先正交化？
书上的例子是三个特征值，其中两个为重根，这两个特征值对应的特征向量（基础解）就要先正交化，另外一个不用。
还是用别的方法处理？
可能讲述不是很清楚，因为解出来的特征值是各不相等的，所以对应的特征向量（基础解）不知道如何处理后再算。。请大家给个解题的思路，越详细越好，急！谢谢~~

Answer 1

如果矩阵A为实对称矩阵，则必可相似对角化，
即存在正交矩阵Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ=对角矩阵 (Q^T是矩阵Q的转置）

所以，题设说矩阵A是实对称矩阵，那么一定会要求求出一个正交矩阵Q，此时，求出了对应特征值λ1、λ2、λ3的三个特征向量X1 X2 X3。

(1)，如果特征值λ1、λ2、λ3互不相同，则特征向量X1 X2 X3必正交，只需对每个向量规范化即可得到彼此正交的单位向量。

(2),如果实对称矩阵有重根时，如λ2=λ3，则应先对λ2、λ3对应的基础解系X2 X3进行施密特正交化，使其为正交向量，然后再对每个向量规范化，即得到两个彼此正交的单位向量。
此时，另一个不相同的特征值λ1所对应的特征向量X1不需要正交化，只进行规范化，化为单位向量即可。

由求出的正交单位向量构成的矩阵Q即为正交矩阵，满足Q^-1AQ=Q^TAQ=对角矩阵

PS：如果，A不是实对称矩阵，则只需求可逆矩阵P，使P^-1AP=对角矩阵
此时，只要把对应不同特征值的特征向量构成矩阵P即可满足题意，不需要进行正交化和规范化。

Answer 2

我也马上要考了
但是一窍不通
加油吧
祝你好运o(∩_∩)o...