Question

【高一数学】基本不等式化简》》》

根据2√ab<=a+b
那么 xy/2≤1/4（x^2+y^2） 对吗？
我觉得是 xy/2<=(x+y)^2/8 才对
可是http://zhidao.baidu.com/question/100972352.html?quesup1
一楼回答者的过程是这样的，但他最终答案是对的，那么到底该怎样理解？
谢谢罗。

Answer 1

1、关于不等式：（“等价于”记为“<=>”）
xy/2≤1/4（x^2+y^2）
乘以4<=>
2xy≤x^2+y^2
加2xy<=>
4xy≤x^2+y^2+2xy=(x+y)^2
除以8<=>
xy/2≤(x+y)^2/8
=>
xy/2≤1/4（x^2+y^2） <=> xy/2<=(x+y)^2/8
(以上三步等价变换只用到了加法和改变正系数，所以衡成立)
2、关于本问题的回答
一楼肯定是正确的（三级的那个）
二楼不完全正确（十八级）：分析如下：
若正确不等式为
xy/2<=1/4*(x+y)^2
则等式成立条件为
xy/2=(x+y)^2/4
<=>
2xy=(x+y)^2
<=>
x^2+y^2=0
=>
x=y=0
这个结论肯定是错的

而如果从不等式论证的方法来看
二楼的做法其实就有点接近于
将2√ab<=a+b这一基本不等式
两边直接作平方处理
对于非负数的等式论证
平方法并不像加法，乘以正数等
是完全的等价变换方法
而是放缩法中的一种
就好比
2<3,2^2<3^2
也就是说
平方法的结果，
很可能会导致原不等式中等号的情况消失
而得到有“远大于”感觉的结果
3、关于那一道几何题目
首先两者答案一样
所以如果我验算没错的话
应该都是对的

后者的解法（贴图的）更为普通
我比较推荐
至少在考试中有计算错误
但明了的步序仍然可以拿分

前者的解法中
第一步就是
“当AP=DP取最大值”
这一步在纯代数中很险
建议谨慎
因为
不等式中等号成立的条件
比如
2根号xy<x+y
不仅仅是x=y等等
好需要保证
x=y时
右侧x+y为一定值，或一个可求出定值的函数式，而不是个无定值函数式
而在这道几何题中
由于几何关系代表了许多的限定区间（定义域）及等式关系
所以
当AP=DP时
右侧的1/4*（AD∧2+DP∧2）
肯定能通过等式关系球得出定值
故这道几何题目中可以使用此法

其实类似的
若已知x+y=...
求根号xy 最值
也是个几何问题

Answer 2

2√ab<=a+b
令a=x^2,b=y^2
则2xy<=x^2+y^2
所以xy/2<=1/4*(x+y)^2

Answer 3

关于使用均值不等式2√ab<=a+b需满足三个条件：一正；二定；三相等。
但使用a^2+b^2>=2ab时，第一个条件可放宽到a，b是任意两个实数。

你所提供的链接题的一楼解答中显示不出和为定值的条件，理解起来显得晦涩。

Answer 4

x^2=a
y^2=b
x^2+y^2≥2√ab=2√(x^2*y^2)=2xy
xy/2≤/4（x^2+y^2)