Question

已知a>0 b>0 a+b=4求(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2的最小值

我知道要应用基本不等式,但是我列出来解不出来,最后有ab没办法,ab<4.

不说了,有没有高手能把过程给我列一下?

Answer 1

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]

显然，随着ab值的增大，值会减小；
即ab取最大值时，(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；

2ab≤a^2+b^2=16-2ab,所以，ab≤4,此时a=b=2

将a,b带入原式，所以
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2的最小值是：25/2

Answer 2

另类方法。解：设ab=t,由题设知，0<t≤4.原式设为f(t)=20+(16/t^2)-2t-(2/t).求导得，f'(t)=-[2t^3-2t+32]<0.故在(0.4]上，f(t)递减。故f(t)min=f(4)=25/2.此时a=b=2.

Answer 3

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(16-2ab)[1+(1/ab)^2]

显然，随着ab值的增大，值会减小；
即ab取最大值时，(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；

2ab≤a^2+b^2=16-2ab,所以，ab≤4,此时a=b=2

将a,b带入原式，所以
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2的最小值是：25/2