Question

一道简单的极大无关组的题，请帮我一下。

设a1,a2,.....an是一组n维向量，已知单位向量e1，e2，....en可以被它线性表出，证明;a1,a2，a3....an线性无关。请写出详细过程，谢谢了！

Answer 1

证明：
根据定理：若向量组(I)能由向量组(II)线性表示，则向量组(I)的秩不大于向量组(II)的秩。

∵单位向量组(I)e1，e2，...,en可由n维向量组(II)a1,a2,...,an线性表出，
∴向量组(I)的秩不大于向量组(II)的秩，
即 r(e1，e2，...,en)≤r(a1,a2,...,an)
且两向量组都为n维向量组，
∴r(e1，e2，...,en)≤r(a1,a2,...,an)≤n

又∵向量组(I)e1，e2，...,en为单位向量，
∴向量组(I)的秩为n，
即r(e1，e2，...,en)=n

综上，可得 n≤r(a1,a2,...,an)≤n
所以，r(a1,a2,...,an)=n

即 n维向量组a1,a2,...,an的秩为n，所以其最大线性无关组就是向量组本身

∴n维向量组a1,a2,.....an线性无关.