Question

一道数学题……初二的奥数题

求证：如果一个数能表示成两个数的平方和，那么这个数的2倍能表示成两个整数的平方和。

Answer 1

条件应该改为一个数能表示为两个整数的平方和。

证明：

设该数为 a^2+b^2. (a,b均为整数)
又∵
2(a^2+b^2)
=2(a^2+b^2)+2ab-2ab
=(a^2+2ab+a^2)+(a^2-2ab+b^2)
=(a+b)^2+(a-b)^2

∵a,b是整数 ∴a+b,a-b也是整数

∴这个数的2倍能表示成两个整数的平方和。
证毕

Answer 2

证明：设该数为(x^2+y^2). (x,y∈Z) (^表示几次方的意思)
∵x,y∈Z ∴x+y∈Z,x-y∈Z
又∵2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)+2xy-2xy=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2
∴该数的2倍能表示成两个整数的平方和。
∴得证