Question

随机变量X服从参数为2的指数分布，试证Y=1-e^(-2X)在区间(0,1)内服从均匀分布

高数题 书上的
有一定步骤
谢谢

Answer 1

求Y布函数
F(y)=P(Y≤y)=P(1-e^(-2X)≤y)=P(-e^(-2X)≤y-1)
=P(e^(-2X)≥1-y)
1、y>11-y<0P(e^(-2X)≥1-y)=1F(y)=1
2、0≤y≤1
F(y)=P(e^(-2X)≥1-y)
=P(-2X≥ln(1-y))
=P(X≤(-1/2)ln(1-y))
注:(-1/2)ln(1-y)数
=∫[0→(-1/2)ln(1-y)]
2e^(-2x)
dx
=1-(1-y)
=y
3、y<0
F(y)=P(e^(-2X)≥1-y)
=P(X≤(-1/2)ln(1-y))
注:(-1/2)ln(1-y)负数
=0
综:F(y)=1
y>1
x
0≤y≤1
0
y<0
Y(0,1)均匀布

Answer 2

求Y的分布函数
F(y)=P(Y≤y)=P(1-e^(-2X)≤y)=P(-e^(-2X)≤y-1)
=P(e^(-2X)≥1-y)
1、当y>1时，1-y<0，P(e^(-2X)≥1-y)=1，因此F(y)=1
2、当0≤y≤1时，
F(y)=P(e^(-2X)≥1-y)
=P(-2X≥ln(1-y))
=P(X≤(-1/2)ln(1-y)) 注：(-1/2)ln(1-y)是个正数
=∫[0→(-1/2)ln(1-y)] 2e^(-2x) dx
=1-(1-y)
=y
3、当y<0时
F(y)=P(e^(-2X)≥1-y)
=P(X≤(-1/2)ln(1-y)) 注：(-1/2)ln(1-y)是个负数
=0
综上：F(y)=1 y>1
x 0≤y≤1
0 y<0
因此Y为(0,1)上的均匀分布。