Question

高二数学（二项式定理的题）

证明：
[（n+1）^n]-1能被n^2整除

-望高人指点

Answer 1

第一项为常数，显然，常数＝1
第二项为含x的项，系数为（1-2x)^5与（1+3x)^4开展式中x项系数的和＝C(5)(4)*(-2)^1+C(4)(3)*3^1=-10+12=2，第二项为2x.
第三项为含x^2的项，系数为（1-2x)^5与（1+3x)^4开展式中x^2项系数的和加上两展开式x项的积＝C(5)(3)*(-2)^2+C(4)(2)*3^2+[C(5)(4)*(-2)^1]*[C(4)(3)*3^1]=-40+54+(-10)*12=14-120=-106，第三项为－106x^2。

Answer 2

[（n+1）^n]-1=sigma(C(n,i)*n^i) i=1...n
i>1时，C(N,i)*n^i显然能被n^2整除
i=1时，C(n,i)=n，所以C(n^i)*n也能被n^2整除
所以[（n+1）^n]-1能被n^2整除

Answer 3

解：Cm(n)为在m个数中选n个
第一项：易知为常数项为1；
第二项：因为C5（1）*（-2）*C4（0）+C5（0）*C4(1)*3=2,所以为2x;
第三项：因为C5(0)*C4(2)*3^2+C5(1)*(-2)*C4(1)*3+C5(2)(-2)^2*C4(0)=-6,所以为-6x^2

Answer 4

可以设想前三项为常数项、一次项、二次项，利用二项式定理可得前三项左括号为1、-10x、40x2,另一括号为1、12x、54x2。进行组合相乘，常数项为1，一次项为2x，二次项为-120x^2+54x^2+40x^2=36x^2

Answer 5

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上面这个符号什么意思