Question

一道西方经济学-微观的习题，谢谢！

某企业的长期生产函数为Q=(A^1/4)(B^1/4)(C^1/4),A价格为PA，B价格为PB，C价格为PC。
（1）推导出企业的长期总成本函数、平均成本函数和边际成本函数；
（2）若在短期中，要素C为不变要素，A和B为可变要素，则企业的短期总成本函数、平均成本函数和边际成本函数又是多少？

Answer 1

（1）所有生产要素可变
Q=(A^1/4)(B^1/4)(C^1/4)
要素边际产量(Marginal product of A,B,C)
MPA=1/4(A^-3/4)(B^1/4)(C^1/4)
MPB=1/4(A^1/4)(B^-3/4)(C^1/4)
MPC=1/4(A^1/4)(B^1/4)(C^-3/4)

当MPA/MPB=PA/PB为要素最佳投入比，得出B/A=PA/PB。同理可得，B/C=PC/PB,A/C=PC/PA

将上述三等比式代入Q=(A^1/4)(B^1/4)(C^1/4)，得出C=Q^4PA*PB/(PC)^2,同理（字母代换即可）得出A=Q^4PB*PC/(PA)^2,Q^4PA*PC/(PB)^2

长期总成本函数 LTC=PA*A+PB*B+PC*C
将三个A,B,C的等式代入,可得长期总成本函数随Q变化（PA，PB，PC都已知）请楼主自行推导~:)

长期平均成本函数,即将长期总成本函数除以Q
长期边际成本函数,即求长期总成本函数一阶导

（2）要素C为不变要素
Q=(A^1/4)(B^1/4)(C^1/4)
要素边际产量(Marginal product of A,B)
MPA=1/4(A^-3/4)(B^1/4)(C^1/4)
MPB=1/4(A^1/4)(B^-3/4)(C^1/4)

当MPA/MPB=PA/PB为要素最佳投入比，得出B/A=PA/PB
将B/A=PA/PB，得出B=A*PA/PB,代入Q=(A^1/4)(B^1/4)(C^1/4),可得
A=C^-1/2乘以(PA/PB)^-1/2乘以Q^2
同理得B
将A,B关于Q,C的两个等式代入STC=PA*A+PB*B+PC*C,即可求出短期总成本函数

短期平均成本函数,即将短期总成本函数除以Q
短期边际成本函数,即求短期总成本函数一阶导

PS: 我初学经济，没做过这类问题（可悲），今天网上看了些题目才晓得何解，为了拿分，现学现卖。请楼主自己解下有关等式。注意区分长，短期生产要素的可变性。如果有错，请告诉我~