Question

任意n个自然数中一定可以找到一个或多个自然数和是n的倍数

求证此题

Answer 1

如果是大学里，可以用域来做。否则麻烦一些。
任意自然数除以n的余数只有n个，0，1，……，n-1.
设这n个数是a1，a2，a3……an。则有
b1=a1；
b2=a1+a2；
……
bn=a1+a2+……+an
现在我们来证明结论一定成立。b1……bn要么余数互不相同，否则一定有至少两个同余。这结论是显然的。因为除以n的余数最多有n种情况，现在有n个数，要么就是n种互不相同的情况，否则就会有同余。
如果b1……bn的余数互不相同，必有其中一个数记为bs=a1+……+as的余数是0，即为n的倍数，成立；否则，假设有两个数bm，bs同余，m<s,则有bs-bm=
（a1+……+as）-（a1+……+am）=am+1……+as为n的倍数，成立。