Question

近世代数问题！

1.在群S6 中有元素x=（135），y=（26）
问：x和y是否可换？
xy是几阶元？
2.设Z标志整数环，N≥1为整数，什么情况下，Z/nZ是挣环？
3.设P是素数。证明：p-群必然有非平凡的中心！
4：一个p-群作用在一个元素个数为p-1的集合上，一定有不动元吗？

Answer 1

1可换 6阶
2 n为质数时
3 G 共轭作用于自身 每个轨道长都整除G的阶 因为G为P^n阶 所以轨道长为1 或能被p整除 所以若只有一个不动点（单位） 则只有一条轨道长1 其他轨道长被p整除 则 所有轨道的和被p除余1 矛盾。
4对 因为每个轨道长都整出G的阶 所以是p的幂 又因为<=p-1所以 只能为1