Question

解一个数学题目

P（1-P){N-1} 后面的大括号表示N-1次方，假设N为一常数
表达式即为 P 乘以 （1-P)的N-1次方 求使这个表达式取得最大值时P的取值是多少？（求出一个关于N的表达式）
还有：
p>=0且p<=1

Answer 1

设函数f(p)=p*(1-P)^n-1
对f(p)求导，为（1-p)6n-1+(n-1)(1-P)^n-2
当导函数值为0时，即（np+1-2p)(1-p)^n-2=0
p=1(舍）或p=1/(2-n),所以p=1/(2-n)

Answer 2

N为正整数？
设函数f(p)=p(1-p)^(n-1)
p=0时，f(p)=0
p=1时，f(p)=0
0<p<1时，对函数f(p)求导
f'(p)=(1-p)^(n-1)-p(n-1)(1-p)^(n-2)
=(1-p)^(n-2)*(1-p-p(n-1))
=(1-p)^(n-2)*(1-np)
0<p<1/n时，f'(p)>0,f(p)是增函数
1/n<p<1时,f'(p)<0,f(p)是减函数
p=1/n时，f'(p)=0,f(p)有极大值=1/n*(1-1/n)^(n-1)=(n-1)^(n-1)/n^n
所以