Question

三题组合数学（有关鸽笼原理)

(1)A是{1,2,3,...,2n}是任意n+1个数，试证A中至少存在一对a,b.使得
a|b
(2)A是{1,2,3,...,2n}是任意n+1个数，试证A中至少存在一对a,b.使得
a与b互素
(3)n是大于等于3的奇数，则下列数的集合：
{2-1,2^2-1,...,2^(n-1)-1}
是存在一数b使得
n|b;

Answer 1

1. n+1到2n，分成n个抽屉
对于1到n中的k，存在某个最小的i，使得k*2^i>n，那么k将分到k*2^i的抽屉里
一个抽屉中的数都是由某个最小的k，以及其2的幂的倍数组成，
所以在里面任意取两个，大数都能被小数整除
取n+1个数时，总有一个抽屉取了两个，所以结论成立

2. n个抽屉为(1,2), (3,4),...,(2n-1,2n)，
总有一个抽屉取了两个，所以这两个数互质

3. 2和n的最大公约数为1
2^0, 2^1,...2^(n-1)这n个数里面，mod n的余数只能是1到n-1
所以存在0<=i<j<n，使得，2^i mod n = 2^j^n
那么n就能整除2^(j-i)-1