Question

线性代数，特征值，特征向量的求解过程

这里第一步代入 |入E-A|我能看懂，可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的？
另外，入1＝1时，把它代入|入E-A|，可怎么就得到了[1 1 1]T？？？
代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2
第一列第二个不是3么？怎么变成0了？
另外，如果按这个结果，最后一步是怎么看的？
就是最后化为只有1，-1和0后，是怎么得出1，1，1这个结果的？
比方说最后一步化成
1 1 0
0 0 1
0 0 0
是怎么化成X＝[1,-1,0]T的？
单纯看只能看出x1和x2相反，那我写成X=[-1,1,0]T不也一样吗？？？

Answer 1

|入E-A| => (入-3)(入-2)(入-1)涉及到行列式的展开与化简知识。根据行列式的展开公式有：
|入E-A| = (入+1)(入-4)(入-3) + 3*(-1)*2 + 3*(-4)*0 - 2*(入-4)*3 - 0*(-1)*(入+1) - (入-3)*3*(-4)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) - 6 - 6(入-4) + 12(入-3)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) + 6(入-3)=0 => (入-3)[(入+1)(入-4) +6] => (入-3)(入-2)(入-1)
（行列式的展开公式请参考相关书籍《大学数学基础教程（三）线性代数与空间解析几何》第三章第一节）

其实所谓的特征向量就是特征值"入"与对应矩阵A组成的新矩阵Ax=入x的解（注意每个特征值对应的特征向量不一定只是一个，一般情况下都是一组解）
（Ax=入x是定义，参见《大学数学基础教程（三）线性代数与空间解析几何》第六章第一节）
既然上式求出了入的三个解，也就是该矩阵对应的三个特征值，那么带入|入E-A|x=0（其实就是Ax=入x的另一个形式）求出x就OK了。
如入1=1，代入后利用矩阵初等行变换，可得出
|1 0 -1|
|0 1 -1|
|0 0 0|
即x1-x3=0,x2-x3=0 => x1=x2=x3,取x1=1,得x2=x3=1(取几都可以，取1只是我觉得1方便)，从而得到入1对应的一个特征向量X=(1,1,1)T（T代表转置）
所以特征值入1对应的全部特征向量为：
kX = (k,k,k)T，其中k为任意非零的数

Answer 2

1.求特征值代入后，
|λE-A|=0.|λE-A|=
λ+1 -4 2
3 λ-4 0
3 -1 λ-3

第三行乘以（-1）加到第二行得
λ+1 -4 2
0 λ-3 3-λ
3 -1 λ-3

第二列加到第三列得
λ+1 -4 -2
0 λ-3 0
3 -1 λ-4

行列式以第二行展开！
=（λ-3）[(λ+1)(λ-4)-3*(-2)]
=（λ-3）[(λ^2-3λ+2)]
=（λ-3）(λ-1)(λ-2)

由特征值与特征向量关系
AP=λP
则(λE-A)P=0

代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2

化简。第一行乘以1/2
1 -2 1
0 -2 2
3 -1 -2

第一行乘以(-3)加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 5 -5

第2行乘以5/2加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 0 0

第2行乘以-1加到第1行
1 0 -1
0 -2 2
0 0 0

第2行乘以-1/2
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
即(λE-A)P=0的系数矩阵为
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
所以，其解为（1，1，1）

Answer 3

这种问题建议你看课本，
了解下基本概念。
(入-3)(入-2)(入-1)是把行列式转化，然后展开得到。一般是转化成上三角式。或足够多的0.
至于入1＝1时，把它代入|入E-A|，得到了[1 1 1]T， 是解了一个普通的矩阵方程，建议你去复习下矩阵方程的解法。
[1 1 1]T，后面带T，表示是转置，也就是竖着排的[1 1 1 ]，是一个列矩阵。