线性代数,特征值,特征向量的求解过程

这里第一步代入|入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1=1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[111]T???代入λ=1到... 这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?
另外,入1=1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T???
代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2
第一列第二个不是3么?怎么变成0了?
另外,如果按这个结果,最后一步是怎么看的?
就是最后化为只有1,-1和0后,是怎么得出1,1,1这个结果的?
比方说最后一步化成
1 1 0
0 0 1
0 0 0
是怎么化成X=[1,-1,0]T的?
单纯看只能看出x1和x2相反,那我写成X=[-1,1,0]T不也一样吗???
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jifengnan
2009-06-21 · TA获得超过211个赞
知道答主
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|入E-A| => (入-3)(入-2)(入-1)涉及到行列式的展开与化简知识。根据行列式的展开公式有:
|入E-A| = (入+1)(入-4)(入-3) + 3*(-1)*2 + 3*(-4)*0 - 2*(入-4)*3 - 0*(-1)*(入+1) - (入-3)*3*(-4)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) - 6 - 6(入-4) + 12(入-3)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) + 6(入-3)=0 => (入-3)[(入+1)(入-4) +6] => (入-3)(入-2)(入-1)
(行列式的展开公式请参考相关书籍《大学数学基础教程(三)线性代数与空间解析几何》第三章第一节)

其实所谓的特征向量就是特征值"入"与对应矩阵A组成的新矩阵Ax=入x的解(注意每个特征值对应的特征向量不一定只是一个,一般情况下都是一组解)
(Ax=入x是定义,参见《大学数学基础教程(三)线性代数与空间解析几何》第六章第一节)
既然上式求出了入的三个解,也就是该矩阵对应的三个特征值,那么带入|入E-A|x=0(其实就是Ax=入x的另一个形式)求出x就OK了。
如入1=1,代入后利用矩阵初等行变换,可得出
|1 0 -1|
|0 1 -1|
|0 0 0|
即x1-x3=0,x2-x3=0 => x1=x2=x3,取x1=1,得x2=x3=1(取几都可以,取1只是我觉得1方便),从而得到入1对应的一个特征向量X=(1,1,1)T(T代表转置)
所以特征值入1对应的全部特征向量为:
kX = (k,k,k)T,其中k为任意非零的数
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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本回答由Sievers分析仪提供
shawhom
高粉答主

推荐于2017-09-21 · 喜欢数学,玩点控制,就这点爱好!
shawhom
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1.求特征值代入后,
|λE-A|=0.|λE-A|=
λ+1 -4 2
3 λ-4 0
3 -1 λ-3

第三行乘以(-1)加到第二行得
λ+1 -4 2
0 λ-3 3-λ
3 -1 λ-3

第二列加到第三列得
λ+1 -4 -2
0 λ-3 0
3 -1 λ-4

行列式以第二行展开!
=(λ-3)[(λ+1)(λ-4)-3*(-2)]
=(λ-3)[(λ^2-3λ+2)]
=(λ-3)(λ-1)(λ-2)

由特征值与特征向量关系
AP=λP
则(λE-A)P=0

代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2

化简。第一行乘以1/2
1 -2 1
0 -2 2
3 -1 -2

第一行乘以(-3)加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 5 -5

第2行乘以5/2加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 0 0

第2行乘以-1加到第1行
1 0 -1
0 -2 2
0 0 0

第2行乘以-1/2
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
即(λE-A)P=0的系数矩阵为
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
所以,其解为(1,1,1)
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动情小火
2009-06-21 · TA获得超过336个赞
知道答主
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这种问题建议你看课本,
了解下基本概念。
(入-3)(入-2)(入-1)是把行列式转化,然后展开得到。一般是转化成上三角式。或足够多的0.
至于入1=1时,把它代入|入E-A|,得到了[1 1 1]T, 是解了一个普通的矩阵方程,建议你去复习下矩阵方程的解法。
[1 1 1]T,后面带T,表示是转置,也就是竖着排的[1 1 1 ],是一个列矩阵。
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